微积分八章正项级数.pdfVIP

§8.2正项级数

一、比较判别法及其极限形式

二、比值判别法(达朗贝尔判别法)

三、根值判别法

定义各项都非负的级数，通常称为正项级数.

各项都非正的级数，通常称为负项级数.

正项级数、负项级数统称为保号级数.

定理8.1(正项级数收敛原理)正项级数收

必要条件是它

由“单调有界数列必有极限”（单调有界法则）可知，

limS存在{S}有上界

nn

n→



定理8.2(比较判别法)设u和v是两个正项

nn

n1n1

级数,且存在常数c(c0),使得自某一项N后,即

nN时，总有ucv

nn



则(1)由v收敛,可推出

n



n1



(2)由

例1

11

解当p1时,有(n1,2,).

nnp

1

因为调和级数发散,则由比较判别法可知

n

n1

,

1y1

p1时,p−级数p发散.

n

n1

当p1时,如图所示,

O1234x

p−级数从第2项到第n项的和为阴影部分台阶形的面积

,

1

且该面积小于函数f(x)在[1,n]上的

xp

面积,于是有

n

n

1k1

Sn1+p1+pdx

kk−1x

k2k2