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数学中的整体思想

整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，在解决某些问题时，从

问题的整体特性出发，统筹考虑，全面把握，构建整体结构，利用问

题的各方面条件寻求简洁的解法。有些数学问题中的某些元素虽然是

非本质的，但若根据题目需要，设法将其视为对象，从整体上把握，

则可化难为易，化繁为简。

一、整体代入

有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，

则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。

例1：一船在静水中的速度是15千米/小时，要经过150千米的河，

并且逆流而上（水流速度为5千米/小时），问船往返共用多少时间？

分析：此题若从局部考虑，要分顺水、逆水两种情况分别计算，而从

整体考虑，因为船速与水速均已知，所以两地之间距离（150千米）

也是一个已知量，所以可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用公

式解决问题。

设船往返共用x小时。

则根据题意列方程：15x－5x＝150

解得：x＝15

二、整体换元

有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，

视“黑箱”为新元，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这

些等量关系解题。

例2：设a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，且a＞b＞0，求a＋b

与ab的值。

分析：此题若从局部考虑，要解方程求出a、b的值再代入求值，而

从整体考虑，因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以a＋b与

ab满足一定的等量关系（韦达定理），因此可以省去对其中繁琐细

节的研究，直接利用公式解决问题。

因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以有：

a＋b＝－（－7）/2＝7/2；ab＝3/2

三、整体构造

有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，

根据题目的需要而恰到好处地构造这个“黑箱”，则可以省去对其中

繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。

例3：已知二次函数y＝－x2＋mx－m2－0.5m＋4的最大值为－18/5，

求此函数的解析式。

分析：此题若从局部考虑，要利用二次函数的极值来求解，而从整体

考虑，因为最大值为－18/5已给出，可以将原函数重新配方构造为

顶点式y＝－（x－m/2）2－0.5m＋4.5，根据最大值为－18/5可求得

m的值。

初中数学思想专题之整体代入

在初中数学的学习中，整体代入是一种非常重要的思想方法。它能够

将复杂的问题简化，使解题过程更加清晰，提高解题效率。本文将介

绍整体代入的概念、优点和如何运用这种思想方法。

一、整体代入的概念

整体代入是指将一个表达式或等式中的一部分或全部用另一个变量

的值来代替，从而得到新的表达式或等式。这种方法常常用于解决一

些涉及多个变量或复杂表达式的问题。

二、整体代入的优点

1、简化问题：整体代入能够将复杂的问题简化，使题目变得更加容

易理解。

2、提高效率：通过将表达式或等式中的一部分或全部用另一个变量

的值来代替，可以减少计算量，提高解题效率。

3、增强解题能力：掌握整体代入的方法可以帮助学生更好地理解数

学概念和思想，提高解题能力。

三、如何运用整体代入

1、确定整体：在运用整体代入的方法时，首先要确定需要代入的表

达式或等式，并将其看作一个整体。

2、选择适当的变量：选择一个适当的变量来代替需要代入的表达式

或等式。这个变量通常是一个简单的数或式子。

3、进行代入：将选定的变量代入到原表达式或等式中，得到新的表

达式或等式。

4、解决问题：通过代入后的新表达式或等式，可以更容易地解决问

题。

四、例子

例如，在解方程时，我们常常运用整体代入的方法。例如解方程x+

2=5，我们可以将x看作一个整体，令x+2=y，则原方程变为

y=5。解出y的值后，再解出x的值。这样，我们就运用了整体代

入的方法解出了这个方程。

五、结论

总体来说，整体代入是一种非常实用的数学思想方法。它能够将复杂

的问题简化，提高解题效率。通过掌握这种方法，学生可以更好地理

解数学概念和思想，提高解题能力。