线性代数（第六版）课件：行列式.pptVIP

*例如**行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式。*(二)行列式展开定理n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应代数余子式乘积的和，即或按第i行展开按第j列展开证略推论：若行列式某行(列)的元素全为零，则行列式的值为零。*例设*定理行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子式之和等于零,即这是因为第i行第j行按第j行展开*同样，行列式对列展开,也有则有*计算行列式的基本方法：利用性质5将某行(列)化出较多的零，再利用展开定理按该行(列)展开。例**例计算行列式解*例解*例解从第一行开始，逐行减去下一行，**例解设所求的二次多项式为由题意得得故所求多项式为插值问题*二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.对角线法则二阶与三阶行列式的计算小结：*第二节n阶行列式(一)排列与逆序由n个不同数码1,2,…,n组成的有序数组i1i2…in,称为一个n级排列.定义在一个n级排列i1i2…in中,如果有较大的数it排在较小的数is前面(isit),则称it与is构成一个逆序.一个n级排列中逆序的总数,称为它的逆序数,记为

t(i1i2…in).n级排列共有n!个.如果排列i1i2…in的逆序数t(i1i2…in)是奇数,则称为奇排列,是偶数或0则称为偶排列.*例排列32514中，32514t(32514)=5，例奇排列n元自然序排列，偶排列例当n=4k或4k+1时，n(n-1)…21是偶排列；当n=4k+2或4k+3时，n(n-1)…21是奇排列.*排列逆序逆序数奇偶性123无0偶排列132321奇排列213211奇排列23121,312偶排列31231,322偶排列32121,31,323奇排列3级排列共有3!=6种.其排列情况见下表：*在一个排列i1…is…it…in中，如果仅将它的两个数码is与it对调，其它数码不变，得到另一个排列,这样的变换，称为一个对换。定理任一排列经过一次对换后改变奇偶性。定理n个数码(n1)共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半。*(二)n阶行列式(1)三阶行列式共有3!=6项．(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．(3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．例如列标排列312是偶排列,列标排列132是奇排列,**定义用n2个元素aij(i,j=1,2,…,n)组成的记号定义为determinantn阶行列式是n!项的代数和,不同列的n个元素的乘积.每项都是位于不同行、*所表示的代数和中有4!=24项.例如，四阶行列式例如,a11a22a33a44项取号,a11a24a33a44不是D的项.a14a23a31a42项取号,+-*D中各项中不为零的项只有a11a22…ann，其他项均为零，由于t(12…n)=0，因此这一项取正号，得例计算上三角行列式解*同理可得下三角行列式*特殊情况：这种行列式称为对角行列式。*例计算行列式解练习：推广到n阶情况。**例设含的项有两项，即解*第三节行列式的性质说明行列式中行与列的地位是对等的,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质1行列式与它的转置行列式相等，即行列式称为行列式D的转置行列式。记证略*性质2交换行列式的两行(列),行列式的值变号。例如证略推论如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。证明互换相同的两行，有*性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式,即证略说明行列式的某一行(列)中所有元素若有公因子,可以提到行列式符号的外面。推论如果行列式有两行(列)的对应元素成比例,则行列式的值等于零。*性质4若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和，则D等于下列两个行列式之和：例如注意：一次只能拆一行或一列。证略*例证明由性质4，