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专题06空间点、线与面的位置关系
一、考情分析
二、考点梳理
一、平面
1.平面的概念
生活中的一些物体通常呈平面形,课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象.
几何里所说的“平面”(plane)就是从这样的一些物体中抽象出来的.但是,几何里的平面是_______________的,一个平面可以将空间分成_______________部分.
2.平面的画法
在立体几何中,我们通常用_______________来表示平面.
(1)当平面水平放置时,如图(1),平行四边形的锐角通常画成_______________,且横边长等于其邻边长的_______________倍;当平面竖直放置时,如图(2),平行四边形的一组对边通常画成铅垂线.
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,我们常把被遮挡部分用虚线画出来,也可以不画.如图(1)表示平面在平面的上面,图(2)表示平面在平面的前面.
3.平面的表示
为了表示平面,我们常把希腊字母α,β,γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上,如平面α,平面β;也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示,还可以用代表平面的平行四边形的_______________的大写英文字母表示.如图中的平面可以表示为:平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.
4.点、直线、平面之间位置关系的符号表示
点、直线、平面的位置关系通常借助_______________中的符号语言来表示,_______________为元素,直线、平面都是点构成的_______________.集合中很多符号的规定都源于将图形视为点集.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“”,“”表示,直线与平面之间的位置关系用符号“”,“”表示等.点、直线、平面之间位置关系的符号表示如下:
点P在直线a上,记作P_______________a;点Q不在直线a上,记作Qa;
点A在平面α内,记作Aα;点B不在平面α内,记作B_______________α;
直线a在平面α内,记作a_______________α;直线l不在平面α内,记作lα;
直线a与b相交于点A,记作a∩b=A;平面α,β相交于直线l,记作α∩β=l.
二、平面的基本性质
1.三个公理
(1)公理1:如果一条直线上的_______________在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
符号表示:Al,Bl,且Aα,Bα?l?α.如图所示:
作用:①判断直线是否在平面内,点是否在平面内;②用直线检验平面.
(2)公理2:过_______________的三点,有且只有一个平面.
符号表示:A,B,C三点不共线?有且只有一个平面α,使Aα,Bα,Cα.如图所示:
作用:①确定一个平面;②判断两个平面重合;③证明点、线共面.
(3)公理3:如果两个不重合的平面有_______________公共点,那么它们有且只有一条过该点的_______________.
符号表示:Pα,且Pβ?α∩β=l,且Pl.如图所示:
作用:①判断两个平面相交;②证明点共线;③证明线共点.
【名师提醒】
(1)对于公理1,我们可以知道:一是整条直线在平面内;二是直线上的所有点在平面内.
(2)“不在一条直线上”和“三点”是公理2的重点字眼,如果没有前者,那么只能说“有一个平面”,但不唯一;如果将“三点”改成“四点”,那么过四点不一定存在一个平面.由此可见,“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件.
(3)公理3反映了平面与平面的一种位置关系——相交,且交线唯一.
2.公理2的三个推论
(1)推论1:经过一条直线和_______________的一点,有且只有一个平面.
符号语言:若点直线a,则A和a确定一个平面.如图所示:
(2)推论2:经过两条_______________,有且只有一个平面.
符号语言:?有且只有一个平面,使,.如图所示:
(3)推论3:经过两条_______________,有且只有一个平面.
符号语言:?有且只有一个平面,使,.如图所示:
三、空间两直线的位置关系
1.异面直线
(1)异面直线的定义:我们把不同在_______________的两条直线叫做异面直线.即若a,b是异面直线,则不存在平面α,使aα且bα.
(2)异面直线的画法:为了表示异面直线不共面的特点,通常用一个或两个平面衬托,如图:
2.空间两直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有且只有三种:相交、平行和异面.
(1)_______________——同一平面内,有且只有一个公共点;
(2)_______________——同一平面内,没有公共点;
(3)_______________——不同在任何一个平面内,没有公共点.
3.空间
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