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人大微积分微分方程的基本概念课件

目录contents微分方程概述一阶微分方程高阶微分方程微分方程的解法微分方程的应用举例微分方程的数值解法

01微分方程概述

微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的数学方程。微分方程通常包含未知函数的一个或多个导数。微分方程的解是满足该方程的未知函数。微分方程的定义

常微分方程偏微分方程线性微分方程非线性微分方程微分方程的分知函数是一元函数的微分方程。未知函数是多元函数的微分方程。未知函数及其导数的次数均为一次的微分方程。未知函数或其导数的次数高于一次的微分方程。

微分方程的应用领域化学经济学描述化学反应速率、物质浓度变化等过程。研究经济增长、市场均衡、投资策略等问题。物理学工程学生物学描述物体运动、电磁场、热力学等现象。分析结构受力、流体流动、电路等问题。描述生物种群动态、生态系统演化等现象。

02一阶微分方程

形如$frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$的微分方程，其中$f(x)$和$g(y)$分别为$x$和$y$的函数。定义求解方法举例通过变量分离法，将方程改写为$intfrac{dy}{g(y)}=intf(x)dx$，然后两边积分求解。求解$frac{dy}{dx}=frac{2x}{y}$，可得$y^2=x^2+C$（$C$为常数）。030201可分离变量的一阶微分方程

形如$frac{dy}{dx}=f(frac{y}{x})$的微分方程。齐次方程定义求解$frac{dy}{dx}=frac{y+x}{y-x}$，通过变量替换$u=frac{y}{x}$，可得$u+ln|u-1|=2ln|x|+C$。举例通过变量替换$u=frac{y}{x}$，将齐次方程化为可分离变量的微分方程进行求解。求解方法形如$frac{dy}{dx}=f(frac{ax+by+c}{Ax+By+C})$的微分方程，可通过适当的变量替换化为齐次方程。可化为齐次的方程齐次方程与可化为齐次的方程

形如$frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$的微分方程，其中$P(x)$和$Q(x)$分别为$x$的已知函数。定义通过常数变易法或公式法求解，公式为$y=e^{-intP(x)dx}(intQ(x)e^{intP(x)dx}dx+C)$。求解方法求解$frac{dy}{dx}+2xy=x$，可得$y=e^{-x^2}(intxe^{x^2}dx+C)$。举例一阶线性微分方程

03高阶微分方程

高阶线性微分方程定义高阶线性微分方程是未知函数及其各阶导数都是一次的，且方程中未知函数及其各阶导数都是整式形式的微分方程。通解高阶线性微分方程的通解是其所有线性无关的特解的线性组合。求解方法通过变量代换、降阶法、常数变易法等方法，将高阶线性微分方程转化为一阶或二阶线性微分方程进行求解。

高阶非线性微分方程是未知函数及其各阶导数不全是一次的，或方程中含有未知函数及其各阶导数的非整式形式的微分方程。定义对于某些特殊的高阶非线性微分方程，可以通过变量代换、降阶法等方法转化为可求解的低阶或线性微分方程。对于一般的高阶非线性微分方程，通常需要采用数值解法进行求解。求解方法高阶非线性微分方程

通解常系数线性微分方程的通解是其特征方程的根所对应的特解的线性组合。定义常系数线性微分方程是未知函数及其各阶导数前的系数都是常数的线性微分方程。求解方法通过求解特征方程得到特征根，然后根据特征根的不同情况，分别写出对应的特解形式，最后根据初始条件确定特解中的待定常数。常系数线性微分方程

04微分方程的解法

一阶线性微分方程利用常数变易法，将非齐次线性微分方程转化为齐次线性微分方程进行求解。伯努利方程通过适当的变量代换，将伯努利方程转化为一阶线性微分方程进行求解。可分离变量的微分方程通过将方程中的变量进行分离，得到两个独立的函数，然后分别进行积分求解。初等解法

令$y=frac{1}{x}$或$x=frac{1}{y}$，将原方程转化为关于新变量的微分方程。倒数代换利用三角函数的性质，将原方程中的某些项用三角函数表示，从而简化方程。三角代换对于含有指数函数的微分方程，可以通过令$y=e^x$或$x=e^y$进行代换，简化方程形式。指数代换变量代换法

将微分方程中的自变量和因变量分离开来，得到两个独立的函数。分离变量对分离后的两个函数分别进行积分，得到通解或特解。两边积分分离变量法

通过观察或计算，找到能使微分方程化为恰当方程的积分因子。寻找积分因子将原方程两边同时乘以积分因子，得到恰当方程。乘