平面向量和的概念线性运算及基本定理坐标表示.docx

平面向量和的概念、线性运算及基本定理、坐标表示

考纲解读

平面向量的实际背景及基本概念.

了解向量的实际背景.(2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.

(3)理解向量的几何表示.

向量的线性运算.

掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.(2)掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.(3)了解向量线性运算的性质及几何意义

掌握平面向量的正交分解及其坐标表示

了解平面向量的基本定理及其意义.

会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

命题探究

平面向量在数学中作为一种工具性知识出现和应用，是一种数学的独特运算符号，这决定了其在高考考查中的地位，自身基础性的知识考查较为简单，多与其他章节知识相结合，向量作为一种外表修饰，也作为一种运算和表达的新方法，使问题的解决趋于灵活和多样化

平面向量的基础知识的考查多以填空的形式出现，多与三角形相结合，进行考查长度、角度、平行和垂直.

预计2014年高考对本部分会以填空题的形式考查平面向量的基本概念及运算，难度一般不大；在解答题中向量依然会作为工具，与圆锥曲线、不等式、三角函数、数列等知识结合，体现知识点的交汇，其综合性强，难度一般在中等偏上.

零向量

单位向量向量的■共线向量相等向量f|字7KT几何稣|」坐标_线遭算

零向量

单位向量

向量的

■共线向量相等向量

f|字

7K

T几何稣|

」坐标

_线遭算

-实际背景

A两向量共线的条件

【考纲知识梳理】

向量的有关概念及表示方法

（1）向量的有关概念

名称

定义

备注

向量

向量的模

零向量

记作0

单位向量

平行向量

（共线向量）

0与任一向量平行或共线

相等向量

相反向量

0的相反向量为0

（2）向量的表示方法

①字母表示法，如：a,Ab等;②几何表示法：用一条有向线段表示向量.

向量的线性运算

向量运算

定义

法则（或几何意义）

运算律

加法

求两个向量和的运算

a+b=b+a.

（a+b）+c=a+（b+c）

减法

求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差

数乘

求实数久与向量a的积

的运算

注：式子Ia+b12+1a-b12=2（1a12+1b12）的几何意义为：平行四边形两条对角线的

平方和等于它们四条边的平方和.—?—? —?—? —*- —?

向量a（a^0）与向量b共线的充要条件为存在唯一一个实数人，使b=Xa

注:用向量法证明三点A..B.C共线时，首先求出A^B,A^C，然后证明A^B=AAC,

即alB,AAC共线即可（A为公共点）.

两个向量的夹角

（1） 定义

已知两个非零向量a和b，作OA=a,OA=b,则叫做向量a与b的夹角.

（2） 范围

TOC\o1-5\h\z―*―? —?—?

——

向量夹角e的范围是,a与b同向时，夹角；a与b反向时，夹

角.―?―? ―?―?

（3） 向量垂直

如果向量a与b的夹角是900则a与b垂直，记作a±b.

平面向量基本定理及坐标表示一_ _ _

（1） 平面向量基本定理

定理：如果匕,e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a,

有且只有一对实数、气，使a=. 一

其中,不共线的向量匕,乌■叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

（2） 平面向量的正交分解

? ?

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

（3） 平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴.y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，对

于平面内的一个向量a，有且只有一实数x,y，使a=xi+yj，把有序数对（x,y）叫做向量a

的坐标，记作a=（x,y），其中x叫做a在x轴上的坐标,尸叫做a在y轴上的坐标. -

设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x,y）就是终点A-的坐标，即若OA=（x,y）,则A.点坐标为（x,y），反之亦成立.（O为坐标原点）

平面向量的坐标运算

（1）加法.减法.数乘运算

向量

a

b

a+b

a-b

人a

坐标

（X],v1）

坦,V2）

—?—?

——

—

（2）向量坐标的求法

TOC\o1-5\h\z已知A3,V）,B（x,V），则AB=,即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标1 1 2 2

减去始点的坐标.

（3）平面向量共线的坐标表示

设a=（x,V）,b=（x,V），其中bN0,则a与b共线。a二人b。 .

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\oCurrentDocument【热点难点精析】—? —? —?—?