固体物理第三章 晶体衍射.pdf

Chapter3

晶体衍射

§3.1倒格子Reciprocallattice

倒格子的概念及其应用在固体物理学中是十分重要的。在前面，我们在坐标空间里讨论

晶体结构的周期性，由此引入了坐标空间的布拉菲格子概念。实际上，晶体结构的周期性，

也可以在波矢空间里进行描述。如果前者称为正格子，后者就称为这个正格子的倒格子。这

样以来，描述一种晶体结构的周期性可以利用两种类型的格子：一种是正格子，它是晶体结

构在坐标空间的数学表现形式；一种是倒格子，它是晶体结构在波矢空间的数学表现形式。

由坐标空间变换到波矢空间，对处理周期性结构中的波动过程、X射线衍射等问题是非常方

便的。

3.1.1波矢空间

前面我们研究晶体结构的周期性，无论是采用直角坐标系还是晶胞坐标系，都是在坐标空

→→

Rr

间里进行的。格点的位置或某点的位置都是用位矢或来表示，其量值单位是“米”。晶

l

体结构的周期性在坐标空间里的数学形式用布拉菲格子来表示，如果把坐标空间称为“实空

间”或“正空间”，那么坐标空间里的布拉菲格子就可以称为正格子。

在固体物理学的研究中，还需要另外一种空间形式。例如，在晶体的X射线衍射过程中，

晶体作为衍射光栅，X射线通过晶体在照相底片形成一些斑点。这些斑点和晶体中的晶面族

有着一一对应的关系。对这些斑点的分布情况进行分析，就可以了解作为衍射光栅的那个晶

体的结构情况。从衍射斑点并不能直接看出晶体的结构，需要进行傅里叶变换，这里就需要

引入波矢空间的概念。另外，计算固体的能带结构和电子状态也要用到波矢空间。

（李商隐：庄生晓梦迷蝴蝶。《庄子齐·物论》说，庄子曾梦化为蝴蝶，醒后弄不清楚是自己变成蝴蝶

了，还是蝴蝶变成庄周了。庄周先生在两个空间－－真实空间和梦幻空间－－里转化。蝴蝶成为庄周先生

在梦幻空间里的化身。）

波矢空间又称状态空间，在波矢空间中同样可以建立直角坐标系，三个方向的单位矢量

→→→→

分别记为k、k、k。与坐标空间相类似，波矢空间中的矢量k可以表示为

xyz

→→→→μνξ→

μνξ，其中(,,)就成为波矢在波矢空间中的坐标。波矢空间的长度单位

k=k+k+kk

xyz

-1

为“米”，是坐标空间长度单位“米”的倒数，因而又可以把波矢空间叫做坐标空间的倒易

空间或倒空间。晶体的X射线衍射在照相底片上形成斑点的过程，其实就是晶体结构从坐标

空间变换到波矢空间的过程。因而要了解晶体结构，就需要进行上述变换的逆变换，即通过

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傅里叶变换把衍射斑点反映的信息再重新变换为晶体结构的信息，这个过程就是从波矢空间

到坐标空间的变换过程。

3.1.2倒格子基矢

晶体结构的周期性在坐标空间中的表现形式用布拉菲格子来表示，称为正格子。晶体结

构的周期性在波矢空间（即倒空间）中同样可以用布拉菲格子来表示，这样的格子称为倒格

子Reciprocallattice。倒格子是倒易空间中的布拉菲格子，它也是由基元在倒易空间的三个方

向重复堆积而成，这个基元就是倒格子的原胞，它是平行六面体，原胞相邻的三个边矢量称

为倒格子基矢Reciprocallatticevectors。如果已知倒格子基矢，就可以作出倒格子原胞，进

而能够得到整个倒格子点阵。

→→→

倒格子基矢的定义――如果某晶体结构的正格子原胞的基矢为a