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常微分方程复习资料

目录contents引言常微分方程的基本概念一阶常微分方程高阶常微分方程微分方程组常微分方程的数值解法

CHAPTER引言01

010203加深对常微分方程基本概念、理论和方法的理解掌握常微分方程的求解技巧和应用为后续课程学习和实际问题解决打下基础目的和背景

一阶常微分方程的求解：变量分离法、常数变易法、恰当方程法等常微分方程的定性理论：稳定性、相平面分析、极限环等常微分方程的应用：振动问题、人口模型、经济学模型等常微分方程的基本概念：微分方程的定义、分类、解的概念等高阶常微分方程的求解：降阶法、常数变易法、幂级数解法等常微分方程的数值解法：欧拉法、龙格-库塔法等010203040506复习范围

CHAPTER常微分方程的基本概念02

常微分方程的定义常微分方程（OrdinaryDifferentialEquation，简称ODE）是包含未知函数及其导数（微分）的方程，且未知函数只含有一个自变量。常微分方程描述了某一未知函数与其导数之间的关系，通过求解常微分方程可以得到未知函数的解析式或近似解。

微分方程的阶（Order）指方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数。例如，一阶微分方程只包含未知函数的一阶导数，二阶微分方程包含未知函数的二阶导数，以此类推。微分方程的解（Solution）满足微分方程的未知函数称为微分方程的解。通解（GeneralSolution）是包含任意常数的解，特解（ParticularSolution）是给定某些条件下的具体解。微分方程的阶与解

线性微分方程（LinearDifferential…未知函数及其各阶导数均为一次的微分方程称为线性微分方程。线性微分方程具有叠加原理，即若y1和y2是方程的解，则它们的线性组合也是方程的解。要点一要点二非线性微分方程（NonlinearDifferent…不满足线性微分方程条件的微分方程称为非线性微分方程。非线性微分方程的求解通常比线性微分方程更为复杂，需要采用特定的方法或技巧。线性与非线性微分方程

CHAPTER一阶常微分方程03

可分离变量法定义：通过代数变换将方程中的自变量和未知函数分离在两个不同的表达式中，从而简化求解过程。求解步骤1.将方程写为$y=f(x)g(y)$的形式。3.解出$y$，得到通解或特解。示例：求解$y=2xy$，通过分离变量法可得$y=Ce^{x^2}$，其中$C$为常数。2.对两边同时积分，得到$intfrac{dy}{g(y)}=intf(x)dx$。

010405060302齐次方程定义：形如$y=f(frac{y}{x})$的方程称为齐次方程。求解步骤1.令$u=frac{y}{x}$，则$y=ux$，$y=u+xu$。2.将$y$和$y$代入原方程，得到关于$u$和$x$的新方程。3.解出新方程的通解或特解，再代回$u=frac{y}{x}$得到原方程的解。示例：求解$y=frac{y}{x}+tan(frac{y}{x})$，通过变量替换可化为齐次方程求解。齐次方程与可化为齐次的方程

一阶线性微分方程定义：形如$y+p(x)y=q(x)$的方程称为一阶线性微分方程。

一阶线性微分方程0102031.找出方程的$p(x)$和$q(x)$。2.计算积分因子$e^{intp(x)dx}$。求解步骤

一阶线性微分方程013.将方程两边同时乘以积分因子，得到新的方程。024.对新方程进行积分，得到通解或特解。示例：求解$y+2xy=x^2$，通过一阶线性微分方程的求解方法可得通解。03

CHAPTER高阶常微分方程04

高阶线性微分方程是指未知函数及其各阶导数都是一次的微分方程。它具有线性性、齐次性和叠加性等基本性质。定义与性质在物理学、工程学等领域中，高阶线性微分方程有广泛应用，如振动方程、波动方程等。应用举例高阶线性微分方程

常系数线性微分方程常系数线性微分方程是指微分方程的系数是常数的线性微分方程。它具有常系数性、线性性和齐次性等基本性质。定义与性质在电路分析、信号处理等领域中，常系数线性微分方程有广泛应用，如RC电路、RL电路等。应用举例

定义与性质欧拉方程是指具有特定形式的二阶线性微分方程，其一般形式为y+p(x)y+q(x)y=0。其中p(x)和q(x)是已知函数，且p(x)和q(x)在区间[a,b]上连续。欧拉方程具有线性性、齐次性和变系数性等基本性质。应用举例在数学物理方程、工程学等领域中，欧拉方程有广泛应用，如梁的弯曲振动、热传导等问题中的偏微分方程可转化为欧拉方程进行求解。欧拉方程

CHAPTER微分方程组05

一阶线性微分方程组形如