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高二数学导数应用2023练习题及答案

一、函数极值与最值问题

1.求函数f(x)=3x^4-4x^3在闭区间[-2,3]上的极值及最值。

解析：首先求出函数的导数f'(x)，然后找出导数f'(x)的零点，即

f'(x)=0的解。根据求得的导数零点，将闭区间[-2,3]分为了若干个子

区间，分别对每个子区间进行讨论，确定极值点以及正、负号区间，

最后比较得出极值和最值。

步骤如下：

1)求导：f'(x)=12x^3-12x^2=12x^2(x-1)。

2)导数的零点：12x^2(x-1)=0，解得x=0或x=1。

3)分析子区间：

a)当x<-2时，f'(x)=12x^2(x-1)<0，函数递减。

b)当-2<x<0时，f'(x)=12x^2(x-1)>0，函数递增。

c)当0<x<1时，f'(x)=12x^2(x-1)<0，函数递减。

d)当1<x<3时，f'(x)=12x^2(x-1)>0，函数递增。

e)当x>3时，f'(x)=12x^2(x-1)<0，函数递减。

4)确定极值点：当x=-2时，f(-2)=3(-2)^4-4(-2)^3=48，当x=0

时，f(0)=0，当x=3时，f(3)=3(3)^4-4(3)^3=189。

5)比较得出极值和最值：函数在x=-2处取得极大值48，函数在x

=0处取得极小值0，函数在x=3处取得极大值189。

答案：极大值48，极小值0，最大值189。

二、函数图像与导数的关系问题

2.已知函数g(x)在区间[-∞,+∞]上可导，且g(-1)=2，求证：在区间

[-∞,+∞]上，一定存在点c，使得g'(c)=0。

解析：根据题意，我们知道函数g(x)在区间[-∞,+∞]上可导，而且

已知g(-1)=2，我们需要证明在整个区间存在一个点c，使得g'(c)=0。

根据拉格朗日中值定理（导数中值定理），我们可以得出结论：若

函数在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)

=(f(b)-f(a))/(b-a)。

步骤如下：

1)将题目中的条件对应到拉格朗日中值定理，我们设a=-1。

2)根据拉格朗日中值定理，可以得出存在一个点c∈(-∞,+∞)，使得

g'(c)=(g(b)-g(a))/(b-a)。

3)因为区间[-∞,+∞]的起点和终点为无穷，所以存在一个点c，使得

g'(c)=0。

答案：根据拉格朗日中值定理，我们证明了在区间[-∞,+∞]上一定

存在点c，使得g'(c)=0。

三、函数变化率问题

3.已知函数h(x)的导数h'(x)=2x+3，且h(1)=4，求函数h(x)在闭

区间[1,5]上的平均变化率。

解析：平均变化率可以通过函数在区间上的变化量除以区间的长度

来计算。首先，我们知道函数h(x)的导数h'(x)=2x+3，代表着h(x)的

变化率。所以，我们可以根据已知的导数h'(x)来计算函数h(x)的平均

变化率。

步骤如下：

1)计算函数h(x)在区间[1,5]上的变化量：Δh=h(5)-h(1)。

2)代入已知的h(x)和h'(x)：Δh=h(5)-h(1)=∫[1,5]h'(x)dx。

3)由h'(x)=2x+3得：∫[1,5]h'(x)dx=∫[1,5](2x+3)dx。

4)积分计算：∫[1,5](2x+3)dx=[x^2+3x]|[1,5]=(5^2+3*5)-(1^2

+3*1)=35。

5)计算平均变化率：平均变化率=Δh/(区间长度)=35/(5-1)=8.75。

答案：函数h(x)在闭区间[1,5]上的平均变化率为8.75。

这是高二数学导数应用20