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从分析学发展史看大学数学学习中的严密化

数学作为一门古老的学科，已经被人类研究有数千年的历史。那么为什么这门艰深的学问能够以“科学皇冠上的明珠”这样一个身份对人们产生经久不衰的吸引力呢？我认为，数学最为迷人之处，就是其所特有的精准与和谐。简单的说，严密性造就了数学的美，也构成数学的基石。可以说，数学的发展史，就是它本身严密性不断加深加强的历史。这一点，我们这些大学新生就有着切身的体会。比方说现在提出这样几个问题：

3-5=？

自然数多还是整数多？整数多还是分数多？

若y=f（x），那么当x→0，y/x=？

对于这几个问题，我们在不同的学习阶段都会给出不同的答案。对于第一个问题，小学生可能根本无法解答，对于一个中学生就没有丝毫的难度；对于第二题，小学生会说自然数比整数多，中学生则可能表现出迷惑；而对于最后一题，即使是高中生也不见得会给出合乎逻辑的答案，却又是大学数学的基础题。也就是说，在过去的学习过程当中，无论是从小学数学到中学数学，还是从中学数学到大学数学，无不伴随着数学学科从方法、技巧乃至于思想上严密性和逻辑性上的提升。一些即便在原来看来是无懈可击的结论与定理，稍有疏忽也许就成为了谬误。

进入大学数学的学习阶段之后，这一点更有了在根本上的飞跃，这就需要我们摆脱过去直观的思考方式，建立更加抽象而严密的思维体系。就这一点来说，我们到现在为止的学习教程于数学本身的发展史是相契合的。我们以数学分析的发展为例。

早在古希腊时期，对实数及其极限的分析和计算就已经成为了数学家的课题。古代数学家围绕原始的极限思想做出了大量的研究，并取得了许多成果，例如穷竭法（《几何原本》Euclid），割圆术（《九章算术》刘徽）等等。但直到十六世纪中叶，微积分才正式进入了酝酿阶段。事实上微分和积分原本被称为无穷小演算，其最初的目的就是“试图去计算曲线所包围的平面图形的面积以及曲面所包围的立体的体积”（《EncounterwithMathematics》P160LarsGarding）。但是，这种几何直观的概念给理论本身的严密性带来了先天上的不足，无论是最初的Kepler和Cavalieri，还是后来的Pascal和Fermata，乃至最终创建微积分理论的两位巨人Newton和Leibniz，这些优秀的数学家都没能对此拿出真正意义上严格的解决方案。尽管围绕建立在不可靠基础之上的微积分理论人们还是做出了大量工作并取得了许多惊人的成就，微积分也迅速渗透到了力学，天文，航海等各种学科乃至于生活生产的方方面面。然而，后来因为基础概念的不明确导致理论根基上的动摇，从而引起所谓“第二次数学危机”的爆发，使得几何直观的理论基础带来的麻烦完全超过了人们从它那里获得的便利。

现在我们知道，当对数学的学习进入了高等数学阶段时，有关于实数和实数集完备概念的建立就成为摆在我们面前的头号问题。原则上，我们在高中阶段所学习的一些导数知识即可视作微分的入门。但是当时的数学学习依然没有能够摆脱所谓的“导数是函数曲线上确定一点切线的斜率”这类不严密的几何直观概念，这使得我们对完全理解其所叙述的数学模型中出现的各种概念和理论造成了困难。介于此，在正式进入数学分析的领域之前，我们迫切需要对实数的基本理论进行系统的学习和掌握，构建起新的思维体系。

幸运的是，这些问题都已经由前人所解决了。正如上文所提及的那样，尽管成就卓著，建立在不牢固基础之上的分析学出现了越来越多的谬误，例如Fourier经过推理竟然认为数列的极限为1/2（如果把这个数列写成{1,0,1,0……}的话，我们很容易看出这是典型的非收敛数列）。这些荒谬的结论使得当时的分析学渐渐为众多人所攻讦。人们最终还是发现微积分和分析学的不严密性到达了了一个非解决不可的程度。之前就有一些数学家试图对此作出严谨而符合逻辑的解释，诸如Taylor,Euler,Maclauin等人，却始终没有找到合适的途径。事实上，在集合论出现之前，对这一问题做出真正意义上严密的解答是相当困难的。此后，Cauchy在他的著作中首次提出了用数列的无限趋近来定义极限，导数差量商形式的表达等重要思想，为后人铺平了道路。利用他的思想，后来的Heine,Cantor等人用今天我们所熟悉的柯西收敛准则的想法证实了“无理数是实数迫近的极限”（《Coursd’analysealgébrique》Cauchy）这一猜想，由此最终得到六条实数完备性定理（事实上我们已经知道这六条定理是完全等价的），为建立实数理论打下了基础。与此同时Weierstrass（此君即实数定理中的聚点定理和Weierstrass?function：的发现者）提出了现在广泛使用的ε-δ定义法，终于使分析学完全摆脱了几何直观的含糊概念。

由此看来，数学分析发展过程与我们的数学学习过程是极为相似的，从最初