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数学归纳法的证明，推广与应用

11数教1班110333104潘广源

摘要：本文主要从数学归纳法的原理，数学归纳法的具体表现形式及其步骤，数学归纳法的应用，运用数学归纳法时的一些技巧，以及数学归纳法运用时易出现的错误这几个方面进行阐述，旨在说明数学归纳法在数学的发展中所起的重要作用。

关键词：数学归纳法的原理表现形式应用技巧

数学归纳法是一种论证方法，更是一种证明与正整数有关的命题的重要手段，他不仅对我们中学数学的学习有很大的帮助，而且对我们进一步学习及研究高等数学也有很大的帮助，下面就从数学归纳法的原理，数学归纳法的具体表现形式及其步骤，数学归纳法的应用，运用数学归纳法时的一些技巧，以及数学归纳法运用时易出现的错误这几个方面进行论证。

数学归纳法的原理

皮亚诺在《算数原理新方法》中提出了序数理论，该理论中最主要的便是皮亚诺公理体系，而皮亚诺公理体系分为4个小点，其中一点便是归纳公理，归纳公理的内容是若M包含于N，且1∈M,由a∈M得a’∈M,则M=N，归纳公理便是第一数学归纳法的理论依据。下面给出第一数学归纳法的证明过程：

设P（n）是与n有关的命题，若满足P（1）成立，由P（k）成立推出P（k+1）也成立，则对任意n∈N，P（n）都成立。

证：设M是使P（n）成立的所有的n构成的集合，显然M包含于N，由归纳公理知1∈M，k’∈M,所以M=N，所以第一数学归纳法得证。

而相对于第一数学归纳法而言，还有第二数学归纳法，皮亚诺理论中还阐述了自然数集的性质，其中有一个性质便是最小数原理，该原理的内容是自然数集的任一非空子集一定具有一个最小数，这便是第二数学归纳法的理论依据，下面给出第二数学归纳法的证明过程：

设P（n）是与n有关的命题，若满足P（1）成立，假定P（n）对所有自然数1k都成立，推出P（k）成立，则P（n）对一切n∈N都成立。

证：设M={n︳P（n）成立，n∈N}，T=N-M，假设T≠空集，根据最小数原理，T中一定有一个最小数，记为a，∵P（1）成立，∴1∈M，从而a≠1，于是1，……a-1∈M推出a∈M，这与a不属于M矛盾，∴T=空集，从而M=N，∴第二数学归纳法得证。

数学归纳法的表现形式及步骤：

归纳法可分为两种，一种是完全归纳法，另一种则是不完全归纳法，而数学归纳法则属于完全归纳法，数学归纳法从内容上又分为有限数学归纳法和超限数学归纳法，对于后者，在实变函数中会学到，前者有两种不同的形式，它们分别为第一数学归纳法与第二数学归纳法。该两种数学归纳法有其固定的操作步骤，二者的第一步相同，均为P（n）成立（n为常数），该步又称为“奠基”步骤，第二步二者有所区别，第一数学归纳法是由P（k）成立推出P（k+1）也成立，而第二数学归纳法是P（m）在1≤m≤k成立的假设下，推出P（k+1）成立，该步又称为“归纳”步骤，若两个步骤均成立，则命题对所有正整数n都成立，这便是数学归纳法的解题步骤。

数学归纳法的应用

数学归纳法的应用非常广泛，包括如下几个方面。

1.证明恒等式

应用数学归纳法证明的恒等式，包括与正整数有关的代数恒等式、三角恒等式、组合数公式及其恒等式等，证明过程也只需要实现等式左右两边相等即可．下面举例说明：

例1：设n为正整数，且x+1/x=2cost，求证xn+1/xn=2cosnt

证：当n=1时成立，假设n=k时xk+1/xk=2coskt，验证当n=k+1时，

左边=xk+1+1/xk+1=（x+1/x）（xk+1/xk）-（xk-1+1/xk-1）

=2cost2coskt-2cos（k-1）t

=4costcoskt-2[cos（kt-t）]

=2cos（k+1）t

综上，对任意正整数，xn+1/xn=2cosnt都成立。

例2：试证12+22+……n2=n（n+1）（2n+1）/6

证：当n=1时，左边=1，右=1*2*3/6=1，∴命题成立。

假设命题对n=k成立，即12+22+……k2=k（k+1）（2k+1）/6

则当n=k+1时，12+22+……k2+（k+1）2=k（k+1）（2k+1）/6+（k+1）2

=（k+1）（k+2）（2k+3）/6成立

综上，12+22+……n2=n（n+1）（2n+1）/6得证

2.证明不等式

应用数学归纳法证明不等式，分为严格不等式和非严格不等式两种．严格不等式的证明，只要保证原不等式中的“﹥”或“﹤”成立即可．对于非严格