两类曲线积分与格林公式-习.pptxVIP

两类曲线积分与格林公式-习

曲线积分基本概念与性质格林公式及其应用典型例题分析与求解方法复杂情况下曲线积分计算技巧数值计算方法在曲线积分中应用总结回顾与拓展延伸

01曲线积分基本概念与性质

第一类曲线积分定义及性质

若$alpha,beta$为常数，则$int_{L}[alphaf(x,y)+betag(x,y)]ds=alphaint_{L}f(x,y)ds+betaint_{L}g(x,y)ds$。线性性若曲线段$L$可分为两段光滑曲线段$L_1$和$L_2$，则$int_{L}f(x,y)ds=int_{L_1}f(x,y)ds+int_{L_2}f(x,y)ds$。可加性第一类曲线积分与曲线的方向无关。方向无关性第一类曲线积分定义及性质

定义：设$L$为平面上从点$A$到点$B$的一条有向曲线段，函数$P(x,y)$和$Q(x,y)$定义在$L$上。对$L$的任意分割$T$，它把$L$分割为$n$个有向小曲线段$\DeltaL_i(i=1,2,...,n)$，$\DeltaL_i$的弧长记为$\Deltasi$，分割$T$的细度为$|T|=\max{1\leqi\leqn}{\Deltas_i}$，在$\DeltaL_i(i=1,2,...,n)$上任取一点$(\xi_i,\etai)$，若有极限$\lim{|T|\to0}\sum_{i=1}^{n}[P(\xi_i,\eta_i)\cos\alpha_i+Q(\xi_i,\eta_i)\sin\alpha_i]\Deltas_i$存在，且其值与分割$T$和点$(\xi_i,\etai)$的取法无关，则称此极限为函数$(P(x,y),Q(x,y))$在有向曲线段上的第二类曲线积分，记为$\int{AB}(Pdx+Qdy)$或$\int_{L}(Pdx+Qdy)$。第二类曲线积分定义及性质

123若$alpha,beta$为常数，则$int_{AB}(alphaP+betaQ)dx+(alphaR+betaS)dy=alphaint_{AB}(Pdx+Rdy)+betaint_{AB}(Qdx+Sdy)$。线性性第二类曲线积分与曲线的方向有关。当改变有向曲线段的方向时，第二类曲线积分的值将改变符号。方向性若有向曲线段由两段光滑有向曲线段组成，则第二类曲线积分等于这两段上的第二类曲线积分的和。可加性第二类曲线积分定义及性质

两类曲线积分的关系当函数$(P(x,y),Q(x,y))$在有向曲线段上连续时，第二类曲线积分$int_{AB}(Pdx+Qdy)$存在；当函数$(P(x,y),Q(x,y))$在有向曲线段上连续且满足一定条件时（如格林公式中的条件），第一类曲线积分$int_{L}(Pdx+Qdy)$与第二类曲线积分$int_{AB}(Pdx+Qdy)$之间存在确定的关系。两类曲线积分的转化在某些情况下，可以通过变量替换或参数化方法将一类曲线积分转化为另一类曲线积分进行计算。例如，两类曲线积分关系与转化

02格林公式及其应用

设D是由分段光滑的曲线L所围成的平面有界闭区域，函数P(x,y)和Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有∮LPdx+Qdy=?D(dQ/dx-dP/dy)dxdy，其中L是D的取正向的边界曲线。格林公式内容通过构造一个辅助函数，利用二重积分的性质和斯托克斯公式进行证明。格林公式证明格林公式内容及其证明

首先确定被积函数和积分路径，然后利用格林公式将曲线积分转化为二重积分进行计算。需要验证被积函数在积分区域内具有一阶连续偏导数，且积分路径需要取正向。利用格林公式计算曲线积分注意事项计算步骤

03在弹性力学中的应用格林公式可用于求解弹性力学中的位移和应力问题，为工程设计提供理论依据。01在电磁学中的应用格林公式可用于计算电场强度和磁感应强度的线积分，从而求解电磁场问题。02在流体力学中的应用利用格林公式可以计算流体在平面区域内的环流量，进而分析流体的流动特性。格林公式在物理和工程领域应用

03典型例题分析与求解方法

计算曲线积分∫Lxds，其中L为x^2+y^2=a^2(y≥0)例题1例题2例题3计算曲线积分∫L(x+y)^2ds，其中L为抛物线y=x^2上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧计算曲线积分∫Lxydx+(x^2+y^2)dy，其中L为圆周x^2+y^2=a^2，方向为逆时针方向第一类曲线积分典型例题

计算曲线积分∫LPdx+Qdy，其中P=y，Q=x，L为从点(0,0)到点(1,1)的直线段例题1计算曲线积分∫L(x^2+y^2)dx+(x+y)dy，其中L为单位圆x^2+y^2=1上从点(1,0)到点(0,1)的一段弧例题2计算曲线积分∫L(x+y+1)dx+(x-y)dy，其中