新教材2023版高中数学第六章导数及其应用6.1导数6.1.2导数及其几何意义第1课时瞬时变化率与导数学生用书新人教B版选择性必修第三册.doc

6．1.2导数及其几何意义

第1课时瞬时变化率与导数

1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．

2．体会极限思想．

新知初探·自主学习——突出基础性

教材要点

知识点瞬时变化率与导数

(1)物体运动的瞬时速度

设物体运动路程与时间的关系是s＝f(t)，当________时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率________________趋近于常数，我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度．

(2)函数的瞬时变化率

设函数y＝f(x)在x0及其附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变量为Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx趋近于0时，平均变化率________________趋近于一个常数k，那么常数k称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．

记作：当Δx→0时，fx0+

还可以说：当Δx→0时，函数平均变化率的极限等于函数在x0的瞬时变化率k，记作lim

(3)函数f(x)在x＝x0处的导数

函数y＝f(x)在点x0的________，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作________，即f′(x0)＝________________．

基础自测

1．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________．

2．一物体的运动方程为s(t)＝t2－3t＋2，则其在t＝________时的瞬时速度为1.

3．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()

A．f′(x)＝aB．f′(x)＝b

C．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b

4．如果函数y＝f(x)在x＝1处的导数为1，那么limΔx→0f

A．12B．

C．2D．1

课堂探究·素养提升——强化创新性

求瞬时速度

例1以初速度v0(v00)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－12gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为________

状元随笔先求出ΔsΔ

,

方法归纳

1．求运动物体瞬时速度的三个步骤

(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；

(2)求平均速度v＝ΔsΔt

(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于常数v

2．求ΔyΔx(当Δx无限趋近于0时)

(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．

(2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0

跟踪训练1一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s)．

(1)求此物体的初速度；

(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．

求函数在某点处的导数

例2(1)曲线y＝1x在点12，2

A．2B．－4

C．3D．1

(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．

状元随笔求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f′(x0)．

方法归纳

1．通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy与Δx的比值，感受和认识在Δx逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数k这一现象．

2．用定义求函数在x＝x0处的导数的步骤

(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；

(2)求平均变化率ΔyΔx

(3)求极限，得导数为f′(x0)＝limΔx

简记为：一差、二比、三趋近．

跟踪训练2求函数f(x)＝x－1x在x＝1

导数的实际意义

例3已知某产品的总成本函数为C＝2Q2＋Q＋3，总成本函数在Q0处导数f′(Q0)称为在Q处的边际成本，用MC(Q0)表示．求边际成本MC(200)，并说明它的实际意义．

方法归纳

由Δx很小时，f(x0＋Δx)－f(x0)≈f′(x0)·Δx，瞬时变化率f′(x0)的实际意义为：当自变量在x＝x0处的改变量很小时，因变量对应的改变量的近似值为f′(x0)·Δx.

跟踪训练3半径为R的气球，求半径为1时体积的瞬时变化率，并说明这一瞬时变化率的实际意义．

6．1.2导数及其几何意义

第1课时瞬时变化率与导数

新知初探·自主学习

[教材要点]

知识点

(1)Δt趋近于0f

(2)ΔyΔx＝

(3)瞬时变化率f′(x0)lim

[基础自测]

1．解析：∵f(x)＝x2，

∴函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率是

limΔx

＝lim

＝limΔx

答案：2

2．解析：设物体在t＝t0时的瞬时速度为1，

因为ΔsΔt＝st0+Δt-st0Δt＝t

所以limΔt→02t0-3+Δt＝

答案：2

3．解析：f′(x0)＝limΔx→0

答案：C

4．解析：