新教材2023版高中数学第二章直线和圆的方程2.5直线与圆圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系学生用书新人教A版选择性必修第一册.doc

2.5.1直线与圆的位置关系

[课标解读]1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系来解决一些实际问题．

教材要点

要点直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断

位置关系

相交

相切

相离

公共点个数

____个

____个

____个

判定方法

几何法：设圆心到直线的距离d＝Aa+Bb+C

d____r

d____r

d____r

代数法：

由Ax+By+C=0

消元得到一元二次方程的判别式Δ

Δ____0

Δ____0

Δ____0

状元随笔“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)直线与圆最多有两个公共点．()

(2)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心．()

(3)若A，B是圆O外两点，则直线AB与圆O相离.()

(4)若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交.()

2．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是()

A．相交B．相切

C．相离D．无法判断

3．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝()

A．1B．2

C．3D．2

4．若直线x＋y＝2与圆x2＋y2＝m(m0)相切，则m的值为()

A．12B．

C．2D．2

5．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于________．

题型1直线与圆的位置关系

例1已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝4(a0，b0)与x轴、y轴分别相切于A、B两点．

(1)求圆C的方程；

(2)试讨论直线l：y＝kx－2与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝4(a0，b0)的位置关系．

方法归纳

判断直线与圆位置关系的3种方法

巩固训练1过三点A(0，0)，B(0，2)，C(2，0)的圆M与直线l：kx－y＋2－2k＝0的位置关系是()

A．相交B．相切

C．相交或相切D．相切或相离

题型2直线与圆相切问题

例2(1)过点P(－2，4)的直线l与圆C：x2＋y2＋2x－2y－3＝0相切，则直线l的方程为()

A．x＝－2或2x－y＋8＝0

B．x＝－2或x＋2y－6＝0

C．2x－y＋8＝0或x＋2y－6＝0

D．x－2y＋10＝0或2x＋y＝0

(2)过点M(2，－3)作圆C：x2＋y2＝13的切线，则切线的方程为__________________．

方法归纳

圆的切线的求解策略

巩固训练2(1)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()

A．－2或12B．2或－12

C．－2或－12D．2或12

(2)由直线y＝2x＋5上的点向圆x2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为()

A．5B．6

C．4D．2

题型3直线与圆相交问题

例3(1)已知直线l：mx－3y－4m＋9＝0与圆C：x2＋y2＝100相交于A、B两点，则|AB|的最小值为()

A．52B．53

C．102D．103

(2)已知圆C与x轴相切，圆心在直线y＝3x上，且到直线y＝2x的距离为55

①求圆C的方程；

②若圆C的圆心在第一象限，过点(1，0)的直线l与C相交于A、B两点，且|AB|＝32，求直线l的方程．

方法归纳

求圆的弦长的2种常用方法

巩固训练3(1)已知圆x2＋y2＝r2(r0)与直线y＝kx＋2至少有一个公共点，则r的取值范围为()

A．r2B．r≥1

C．r≥2D．0r≤2

(2)已知圆M的方程为x2＋y2＋4x－4y＋4＝0.

①写出圆M的圆心坐标和半径；

②经过点N(－1，0)的直线l被圆M截得弦长为23，求l的方程．

易错辨析忽略了圆的一个隐含条件

例4已知圆的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点A(1，2)，要使过定点A(1，2)作圆的切线有两条，则a的取值范围为________．

解析：圆的标准方程为(x＋a2)2＋(y＋1)2＝4-3a24，圆心C坐标为(－a2，－1)，半径r＝4-3a24＝4-3

又过点A(1，2)作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即1+a22

化简得a2＋a＋90，不等式a2＋a＋90恒成立，故a的取值范围是(－233

易错警示

易错原因

纠错心得

忽视了圆的方程x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0中有一