新教材2023版高中数学第六章计数原理6.3二项式定理6.3.2二项式系数的性质学生用书新人教A版选择性必修第三册.docVIP

6.3.2二项式系数的性质

课标解读

1.会用赋值法求展开式系数的和．

2．能记住二项式系数的性质，并能灵活运用性质解决相关问题．

新知初探·课前预习——突出基础性

教材要点

要点二项式系数的性质

对称性

在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“________”的两个二项式系数相等，即Cnm＝

增减性与

最大值

增减性：当kn+12时，二项式系数是逐渐________；当kn+12时，二项式系数是逐渐

最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数________最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数________，________相等，且同时取得最大值

各二项式

系数的和

1Cn0+C

2Cn0+

助学批注

批注?从n个不同元素中取出m个元素，则剩余n－m个元素，故从n个不同元素中取出m个元素的方法数与取出n－m个元素的方法数相等，即Cnm＝

批注?从集合的角度解释：设A是含有n个元素的集合，求A的子集个数时，可以按照子集中含有元素的个数进行分类：没有元素的子集(即空集)有C

故所有子集的个数为Cn0+

夯实双基

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)(a＋b)n的展开式中，二项式系数具有对称性．()

(2)二项展开式的二项式系数和为Cn1+

(3)二项式展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和．()

(4)二项展开式项的系数是先增后减的．()

2．(1－x)5的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是()

A．0B．－1

C．－32D．32

3．二项式(x－2x)8的展开式中所有项的系数和是(

A．38B．28

C．1D．－1

4．(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，则a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型1二项式系数和问题

例1[2022·河北石家庄高二期末]已知(3a－2b)n(n为正整数)展开式的各项二项式系数之和为256.

(1)求展开式中的第3项；

(2)若b＝1a

方法归纳

二项式系数之和与指数n有关，其和为Cn0+Cn1+Cn2

巩固训练1(1)(x－1)10的展开式中所有奇数项的二项式系数和为()

A．128B．256C．512D．1024

(2)[2022·河北沧州高二期末]在(x＋2x)n的展开式中，所有二项式系数的和是16，则展开式中的常数项为________

题型2二项展开式中各项系数和问题

例2已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.

(1)求a1＋a2＋…＋a7；

(2)求a1＋a3＋a5＋a7；

(3)求|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.

方法归纳

赋值法求二项展开式中系数的策略

巩固训练2(1)[2022·广东潮州高二期末]若x2＋(x＋1)7＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a7(x＋2)7，则a0＋a1＋a2＋…＋a7＝()

A．0B．－1C．1D．129

(2)[2022·湖北襄阳高二期末](多选)已知(1＋x)6＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a6(x－1)6，则下列说法正确的有()

A．a0＝64

B．a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＝18

C．a0＋a2＋a4＋a6＝365

D．a0＋2a1＋4a2＋8a3＋16a4＋32a5＋64a6＝212

题型3系数最大项问题

例3(1)若(x-2x)n展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式的常数项是

A．160B．60C．－160D．－60

(2)已知在(2x＋1x)n的展开式中，所有偶数项的二项式系数的和为32

方法归纳

1．求二项式系数最大的方法

根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．

2．求展开式中系数最大的方法

巩固训练3[2022·广东广州高二期末](多选)在二项式(1－x)2n的展开式中，以下说法正确的是()

A．二项式系数最大的项是第n项

B．各项系数之和为0

C．当n＝5时，展开式系数最大的项是第6项

D．展开式共有2n＋1项

6.3.2二项式系数的性质

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点

等距离增大的减小的Cnn2Cnn-1

[夯实双基]

1．(1)√(2)×(3)×(4)×

2．解析：(1－x)5的二项展开式中所有项的二项式系数之和为25＝32.故选D.

答案：D

3．解析：令x＝1，可得(1－21)8＝1，即二项式(x－2x)8的展开式中所有项的系数和为1.

答案：C

4．解析：因为(2x－1)10＝a0＋a1x＋