新教材2023版高中数学第六章导数及其应用6.1导数6.1.2导数及其几何意义第2课时导数的几何意义学生用书新人教B版选择性必修第三册.doc

第2课时导数的几何意义

通过函数图象直观理解导数的几何意义．

新知初探·自主学习——突出基础性

知识点导数的几何意义

曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数f′(x0)的几何意义为________________________．

基础自测

1.已知曲线y＝x2上一点A(2，4)，则在点A处的切线斜率为()

A．4B．16

C．8D．2

2．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()

A.f′(xA)f′(xB)

B．f′(xA)f′(xB)

C．f′(xA)＝f′(xB)

D．不能确定

3．已知函数y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则f′(2)＝()

A．1B．－1

C．－3D．3

4．已知曲线f(x)＝12x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为(

A．－2B．－1

C．1D．2

课堂探究·素养提升——强化创新性

求曲线在某点处切线的方程

例1已知曲线C：y＝x3.

(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；

(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？

状元随笔(1)先求切点坐标，再求y′，最后利用导数的几何意义写出切线方程．

(2)将切线方程与曲线C的方程联立求解．

,

方法归纳

1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤

(1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)；

(2)写出切线方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．

特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为π2，此时所求的切线平行于y轴，所以曲线的切线方程为x＝x0

2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．

跟踪训练1已知曲线y＝13x3＋43，求曲线在点P(2，

求切点坐标

例2已知抛物线y＝2x2＋1.求：

(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？

(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?

状元随笔

设点的坐标

跟踪训练2已知函数f(x)＝x2.在曲线y＝f(x)上某点P的切线满足下列条件，分别求出P点．

(1)平行于直线y＝4x－5；

(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；

(3)与x轴成135°的倾斜角．

方法归纳

根据切线斜率求切点坐标的步骤

1．设切点坐标(x0，y0)；

2．求导函数f′(x)；

3．求切线的斜率f′(x0)；

4．由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；

5．点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标．

曲线过某点的切线方程

例3求抛物线y＝14x2过点(4，74

方法归纳

过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求解步骤

(1)设切点(x0，f(x0))．

(2)建立方程f′(x0)＝y1

(3)解方程得k＝f′(x0)，由x0，f(x0)及k，从而写出切线方程．

跟踪训练3求过点(－1，0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．

利用图象理解导数的几何意义

例4(1)已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是()

A．0f′(2)f′(3)f(3)－f(2)

B．0f′(2)f(3)－f(2)f′(3)

C．0f′(3)f(3)－f(2)f′(2)

D．0f(3)－f(2)f′(2)f′(3)

(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()

,

方法归纳

根据导数的几何意义可知，f′(x0)能反映曲线f(x)在x＝x0处的升降及变化快慢情况，若f′(x0)0，则曲线在该点处上升，若f′(x0)0，则曲线在该点处下降．

跟踪训练4

已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)在A，B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为f′(a)________f′(b)(填“＜”或“＞”)．

第2课时导数的几何意义

新知初探·自主学习

[教材要点]

知识点

曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率

[基础自测]

1．解析：k＝limΔx

答案：A

2．解析：由导数的几何意义，知f′(xA)，f′(xB)分别是曲线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)f′(xB)．

答案：B

3．解析：由题意知切线的斜率为3，即f′(2)＝3.

答案：D

4．解析：设切点坐标为(x0，y0)，∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝12x0+Δx2+x0+Δx-12x02－x0＝x0·Δx+12Δx2＋Δx，∴ΔyΔx＝x0＋12Δx＋1，

答案：D

课堂探究·素养提升

例1【解析】(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1，