对称性在各种积分中的定理.docx

对称性在积分计算中的应用

定理2.1.1[3]设函数f3,y)在xoy平面上的有界区域D上连续，且D关于

X轴对称.如果函数f3,y)是关于y的奇函数，即f(x,-y)=-f(x,y)，(x,y)gD，则jjf(x,y)dG=0；如果f(x,y)是关于y的偶函数，即f(x,-y)=f(x,y)，

(x,y)gD，则jjf(x,y)do=2jjf(x,y)db.

D D]

其中D1是D在x轴上方的平面区域.

同理可写出积分区域关于y轴对称的情形.

则由定理2.1.1知jjy3sin2xdo=0.

D

由定理2.1.1可得如下推论.

推论2设函数f(x,y)在xoy平面上的有界区域D上连续，若积分区域D既

关于x轴对称，又关于y轴对称，则

⑴若函数f(x,y)关于变量x,y均为偶函数，则jjf(x,y)db=4jjf(x,y)db.

d Di

其中D1是区域D在第一象限的部分，D1={(x,y)gDIx0,y0}.

⑵若函数f(x,y)关于变量x或变量y为奇函数，则jjf(x,y)d。=0.

D

当积分区域关于原点对称时，我们可以得到如下的定理.

定理2.1.2[4]设函数f(x,y)在xoy平面上的有界区域D上连续，且D关于原点对称.如果f(-x,-y)=-f(x,y)，(x,y)gD，则jjf(x,y)db=0；如果f(-x,-y)=f(x,y)，(x,y)gD，则jjf(x,y)de=2jjf(x,y)db=2jjf(x,y)db，

D D1 D2

其中D1={(x,y)gDIx0}，D2={(x,y)gDIy0}.

为了叙述的方便，我们给出区域关于x,y的轮换对称性的定义.

定义2.1.1设D为一有界可度量平面区域(或光滑平面曲线段)，如果对于任意(x,y)gD，存在(y,x)gD，则称区域D(或光滑平面曲线段)关于x,y具有轮换对称性.

关于区域的轮换对称性，有如下定理.

定理2.1.3[5]设函数f3,y)在xoy平面上的有界区域D上连续，且D关于尤,y具有轮换对称性，则jjf(x,y)do=jjf(y,x)do.

D D

定理2.2.1[6]设函数f(x,y,z)是定义在空间有界区域Q上的连续函数，且

Q关于坐标平面x=0对称，则

若f(x,y,z)是关于变量x的奇函数，则jjjf(x,y,z)dV=0；

Q

若f(x,y,z)是关于变量x的偶函数，则

jjjf(x,y,z)dV=2jjjf(x,y,z)dV.

Q Q]

其中Q]是Q的前半部分，Q]={(x，y,z)eQIxo}.

同理可写出Q关于坐标平面y=0(或z=0)对称时的情形.

与二重积分类似，我们也可得到如下结论.

定理2.2.2设函数f(x,y,z)是定义在空间有界区域Q上的连续函数，且Q

关于原点对称，则

若f(—x,—y,—z)=-f(x,y,z)，(x,y,z)gQ，则jjjf(x,y,z)dV=0；

Q

若f(-x,-y,-z)=f(x,y,z)，(x,y,z)gQ，贝V

jjjf(x,y,z)dV=2jjjf(x,y,z)dV=2jjjf(x,y,z)dV=2jjjf(x,y,z)dV.

Q Q1 Q2 Q3

其中Q={(x,y,z)gQIx0}，Q={(x,y,z)gQIy0}，Q={(x,y,z)gQIz0}

1 2 3

为了方便叙述，我们先给出一个空间几何体关于x,y,z的轮换对称性定义.

定义2.2.1[7]设Q是一有界可度量的集几何体(Q可为空间区域、空间曲线或曲面块)，且它的边界光滑，若对任意的(x,y,z)gQ，都存在(y,z,x)gQ，存在(z,x,y)gQ，则称Q关于x,y,z具有轮换对称性.

关于空间区域的轮换对称性，我们有如下的定理.

定理2.2.3设函数f(x,y,z)是定义在空间有界区域Q上的连续函数，且Q关于x,j,z具有轮换对称性，则jjjf(x,j,zz)dV』jf(j,z,x)dV=jjjf(z,x,j)dV.

Q Q Q

3.1对称性在第一型曲线积分计算中的应用

本文只讨论平面曲线