新教材2023版高中数学第六章计数原理6.3二项式定理6.3.1二项式定理学生用书新人教A版选择性必修第三册.docVIP

6.3.1二项式定理

课标解读

1.能用计数原理证明二项式定理．

2．掌握二项式定理及其展开式的通项公式．

3．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

新知初探·课前预习——突出基础性

教材要点

要点一二项式定理

(a＋b)n＝Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk＋…＋Cn

在二项式定理中，如果a＝1，b＝x，则(1＋x)n＝Cn0+

要点二二项展开式的通项

二项展开式中的Cnkan－kbk叫作二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Cnkan－k

助学批注

批注?(1)展开式共有n＋1项，各项的次数都是n.

(2)字母a按降幂排列，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，次数由0逐项加1直到n.

批注?(1)通项是二项展开式的第k＋1项，而不是第k项．

(2)(a＋b)n与(b＋a)n的二项展开式相同，但是(a＋b)n的第k＋1项为Cnkan－kbk，(b＋a)n的第k＋1项为Cnkbn－kak.因此，应用二项式定理时，

夯实双基

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)(a＋b)n展开式中共有n项．()

(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．()

3Cnkan－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．

(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．()

2．若(x＋1)n的展开式共有12项，则n＝()

A．11B．12C．13D．14

3．在(2x－4)6的展开式中，第二项为()

A．－768x5B．768x5

C．－3840x4D．3840x4

4．二项式(x2－1x)6的展开式中，常数项的值是________

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型1二项式定理的正用、逆用

例1(1)求(x-12

(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).

方法归纳

利用二项式定理解题策略

巩固训练1(1)S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则S＝()

A．x4B．x4＋1

C．(x－2)4D．x4＋4

(2)(x＋1x)6的展开式为________

题型2求二项展开式中的特定项

例2已知二项式(x2+13x)n(n∈N

(1)求n的值；

(2)求展开式中所有有理项．

方法归纳

求二项展开式的特定项的策略

巩固训练2已知(x2－1x)n的展开式中，第4项为－10x

(1)求正整数n的值；

(2)求(x2－1x)n的展开式中x4

题型3二项式定理的灵活运用

例3(1)(x2＋x＋14)5的展开式中，x7的系数为(

A．5B．7

C．10D．15

(2)[2022·新高考Ⅰ卷](1－yx)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)

方法归纳

1．求解两个二项展开式乘积的展开式中的特定项的步骤

2．求解三项展开式中的特定项的方法

根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性．

巩固训练3(1)[2022·湖北武汉一中高二期中](1＋x)(1－2x)5展开式中x3的系数为()

A．5B．－30

C．35D．－40

(2)[2022·福建三明高二期中](x2－2x＋y)6的展开式中x3y3的系数为________．

6．3.1二项式定理

新知初探·课前预习

[夯实双基]

1．(1)×(2)×(3)×(4)√

2．解析：由二项式定理知展开式共有n＋1项，所以n＋1＝12，即n＝11.故选A.

答案：A

3．解析：Tk＋1＝C6k(2x)6－k·(－4)k，第二项是k＝1，即C61(2x)6－1·(－4)1＝－768x

答案：A

4．解析：二项式(x2－1x)6的展开式通项公式为Tk＋1＝C6k(x2)6－k(－x－1)k＝(－1)kC6kx12－3k，当12－3k＝0时，k＝4，则T5＝(－

答案：15

题型探究·课堂解透

例1解析：(1)方法一(x-12x)4＝C40x4－

方法二(x-12x)4＝116x2(2x－1)4＝116x2(16x4－32x

＝x2－2x＋32

(2)原式＝C50x－15＋C51x－14＋C52x－13

巩固训练1解析：(1)S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝C40x－14＋C

(2)根据二项式定理，

(x＋1x)6＝(x＋x－1)6＝C60

＝x6＋6x4＋15x2＋20＋15x－2＋6x－4＋x－6.

答案：(1)A(2)x6＋6x4＋15