新教材2023版高中数学第六章导数及其应用6.2利用导数研究函数的性质6.2.1导数与函数的单调性第1课时导数与函数的单调性学生用书新人教B版选择性必修第三册.docVIP

6．2.1导数与函数的单调性

第1课时导数与函数的单调性

1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；

2．能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．

新知初探·自主学习——突出基础性

教材要点

知识点一用函数的导数判定函数单调性的法则

(1)如果在(a，b)内，________，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；

(2)如果在(a，b)内，________，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间．

知识点二一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系

函数的单调性

导数

单调递增

________

单调递减

________

常函数

________

基础自测

1.函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是()

2.已知函数f(x)＝x＋lnx，则有()

A．f(2)＜f(e)＜f(3)

B．f(e)＜f(2)＜f(3)

C．f(3)＜f(e)＜f(2)

D．f(e)＜f(3)＜f(2)

3.函数y＝f(x)的图象如图所示，则()

A．f′(3)0B．f′(3)0

C．f′(3)＝0D．f′(3)的正负不确定

4.已知函数f(x)＝12x2－x，则f(x)的单调递增区间为________

课堂探究·素养提升——强化创新性

函数单调性与导数的正负的关系——函数图象与导函数图象的关系

例1(1)函数y＝f(x)的图象如图所示，给出以下说法：

①函数y＝f(x)的定义域是[－1，5]；

②函数y＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2，4]；

③函数y＝f(x)在定义域内是增函数；

④函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)0.

其中正确的序号是()

A．①②B．①③

C．②③D．②④

(2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()

(3)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象只可能是所给选项中的()

状元随笔研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．

方法归纳

1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可．

2．通过图象研究函数单调性的方法

(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；

(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．

跟踪训练1(1)函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是()

(2)函数y＝f(x)在定义域R上可导，其导函数的图象如图所示，则函数y＝f(x)的单调递增区间为________________．

(3)已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的()

利用导数求函数的单调区间

例2(1)求函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间．

(2)求函数f(x)＝x＋ax(a≠0)

(3)求函数f(x)＝sinx－x(0xπ)的单调区间．

状元随笔求出导数f′(x)，分a＞0和a＜0两种情况．由f′(x)＞0求得单调增区间，由f′(x)＜0求得单调减区间．

方法归纳

利用导数求函数单调区间的步骤

1．确定函数f(x)的定义域．

2．求导数f′(x)．

3．由f′(x)0(或f′(x)0)，解出相应的x的范围．当f′(x)0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)0时，f(x)在相应区间上是减函数．

4．结合定义域写出单调区间．

跟踪训练2(1)函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调递增区间为()

A．(0，＋∞)B．(－∞，0)

C．(－∞，1)D．(1，＋∞)

(2)函数f(x)＝lnx－x的单调递增区间是()

A．(－∞，1)B．(0，1)

C．(0，＋∞)D．(1，＋∞)

判断函数的单调性

例3利用导数判断下列函数的单调性：

(1)f(x)＝13x3－x2＋2x－5

(2)f(x)＝x－1x－lnx

(3)f(x)＝x－ex(x0)．

方法归纳

利用导数判断函数单调性的步骤：确定函数的定义域；求导数f′(x)；确定f′(x)在定义域内的符号，在此过程中，需要对导函数进行通分、因式分解等变形；得出结论．

跟踪训练3利用导数判断下列函