新教材2023版高中数学第六章导数及其应用6.1导数6.1.1函数的平均变化率学生用书新人教B版选择性必修第三册.doc

6.1导数

6．1.1函数的平均变化率

通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．

新知初探·自主学习——突出基础性

教材要点

知识点一函数的平均变化率

函数的平均变化率的定义

一般地，已知函数y＝f(x)，x1，x2是其定义域内不同的两点，记Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)，

则当Δx≠0时，商________＝Δy

称作函数y＝f(x)在区间[x1，x2](或[x2，x1])的平均变化率．

知识点二函数的平均变化率的几何意义即割线

的斜率

已知y＝f(x)图象上两点A(x1，f(x1))，B(x1＋Δx，f(x1＋Δx))，过A，B两点割线的斜率是________________，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．

知识点三函数的平均变化率的物理意义即平均

速度

物体在某段时间内的平均速度即函数的平均变化率．

基础自测

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)Δx表示x2－x1，是相对于x1的一个增量，Δx的值可正可负，但不可为零．()

(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负，也可以为零．()

(3)ΔyΔx表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．

(4)平均速度是刻画某函数在区间[x1，x2]上的变化快慢的物理量．()

2．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1，2)及邻近点Q(1＋Δx，2＋Δy)，则割线PQ的斜率为()

A．4B．4x

C．4＋2Δx2D．4＋2Δx

3．如图，函数y＝f(x)在[1，3]上的平均变化率为()

A．1B．－1

C．2D．－2

4．如果质点M按规律s＝3＋t2(s的单位是m，t的单位是s)运动，则在时间段[2，2.1]内质点M的平均速度等于()

A．3m/sB．4m/s

C．4.1m/sD．0.41m/s

课堂探究·素养提升——强化创新性

求函数的平均变化率

例1(1)已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则ΔyΔx＝

A．4B．4x

C．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2

(2)已知函数f(x)＝x＋1x，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5

状元随笔(1)由Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(1＋Δx)－f(1)可得．

(2)求

方法归纳

1．求函数平均变化率的三个步骤

第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1；

第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；

第三步，求平均变化率ΔyΔx

2．求平均变化率的一个关注点

求点x1附近的平均变化率，可用

fx

跟踪训练1函数y＝x2＋1在[1，1＋Δx]上的平均变化率是()

A．2B．2x

C．2＋ΔxD．2＋(Δx)2

求物体在某段时间内的平均速度

例2质点运动规律s＝12gt2，则在时间区间(3，3＋Δt)内的平均速度等于________．(g＝10m/s2

方法归纳

求运动物体平均速度的两个步骤

1．求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；

2．求平均速度v＝Δs

跟踪训练2一质点按运动方程s(t)＝1t作直线运动，则其从t1＝1到t2＝2的平均速度为(

A．－1B．－1

C．－2D．2

平均变化率的几何意义

例3已知曲线y＝x2－1上两点A(2，3)，B(2＋Δx，3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．

,

方法归纳

已知y＝f(x)图象上两点A(x1，f(x1))，B(x1＋Δx，f(x1＋Δx))，过A，B两点割线的斜率是ΔyΔx

跟踪训练3已知函数y＝x2－1的图象上一点A(3，8)及邻近一点B(3＋Δx，8＋Δy)，则割线AB的斜率等于()

A．6B．6＋Δx

C．6＋(Δx)2D．6x

以直代曲

例4

刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，如图是半径为1尺的圆内接正六边形，若用该正六边形的面积近似代替圆的面积，则该圆的面积的近似值为________．

方法归纳

以直代曲思想用来研究函数的局部性质，重在体会“无限逼近”“量变到质变”“近似与精确”的思想．

跟踪训练4已知函数f(x)的部分图象如图所示．若把曲线AB近似地看成线段，则图中阴影部分的面积近似为________．

6．1.1函数的平均变化率

新知初探·自主学习

[教材要点]

知识点一

y

知识点二

ΔyΔx＝

[基础自测]

1．答案：