新教材2023版高中数学第二章直线和圆的方程2.2直线的方程2.2.3直线的一般式方程学生用书新人教A版选择性必修第一册.doc

2.2.3直线的一般式方程

[课标解读]1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．

教材要点

要点一直线方程的一般式

1．定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)都表示一条直线，把它叫做直线的一般式方程，简称一般式．

2．适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．

3．系数的几何意义：当B≠0时，则－AB＝k(斜率)，－CB＝b(y轴上的截距

当B＝0，A≠0时，则－CA＝a(x轴上的截距)

状元随笔①x的系数为正；②x，y的系数及常数项一般不出现分数；③按含x项，含y项、常数项顺序排列．

要点二直线各种形式方程的互化

状元随笔解题时，若无特殊说明，应把求得的直线方程化为一般式．

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)任何直线方程都能表示为一般式．()

(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．()

(3)对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线．()

(4)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线．()

2．直线3x＋4y＋12＝0的斜率为()

A．43B．

C．－43D．－

3．直线x－y－1＝0的倾斜角α为()

A．30°B．45°

C．60°D．90°

4．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为()

A．A≠0B．B≠0

C．A·B≠0D．A2＋B2≠0

5．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为________．

题型1直线方程的一般式

例1根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．

(1)斜率是－12，经过点A(8，－2)

(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；

(3)在x轴和y轴上的截距分别是32、－3

(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．

方法归纳

求直线的一般式方程的策略

巩固训练1(1)过点P(－2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是()

A．x－y＋1＝0

B．x－y＋1＝0或3x＋2y＝0

C．x－y－5＝0

D．x－y＋5＝0或3x＋2y＝0

(2)过点A(－2，1)，且倾斜角的余弦值为－55的直线的一般式方程为________

题型2一般式下直线的平行与垂直的问题

例2(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求实数m的值；

(2)已知直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直，求实数a的值．

方法归纳

一般式在直线平行、垂直中的应用

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，

(1)平行：①A2，B2，C2均不为0，l1∥l2?A1A2＝B

②A2，B2中有一个为0，则根据A1，B1是否为0判断位置关系；

③若C2为0，则根据①只需判断A1，B1与A2，B2的关系．

(2)垂直：l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.

巩固训练2(1)已知直线l1：(m＋2)x－(m－2)y＋2＝0，直线l2：3x＋(m＋2)y－5＝0，若l1⊥l2，则m＝()

A．2或－5B．－2或－5

C．2或5D．－2或5

(2)若过点O(0，0)和M(1，3)的直线与直线ax－y－2＝0平行，则a＝________．

题型3含参数的一般式方程

例3已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.

(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；

(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．

方法归纳

已知含参数的直线的一般式方程

求参数的值或取值范围的步骤

巩固训练3若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．

(1)求实数m的范围；

(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．

易错辨析忽视特殊情形，转化不等价致错

例4已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当l1∥l2时，求m的值．

解析：由1×3－m(m－2)＝0得，m＝－1或m＝3.

当m＝－1时，l1：x－y＋6＝0，l2：3x－3y＋2＝0.

两直线显然不重合，即l1∥l2.

当m＝3时，l1：x＋3y＋6＝0，l2：x＋3y＋6＝0.两直线重合．故m的值为－1.

易错警示

出错原因

纠错心得

易忽略检验截距是否相等

已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则A1B2－A2B1＝0?l1∥l2或l1与l2重合．

所以，由A1B2－