高中数列总结_2.docVIP

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数列

等差数列：①，

若，③也成等差数列

例题：

1.在等差数列中，，则

分析：

2.若一个数列的前三项和为34，后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列项

分析：前三项=，后三项=，

3.在等差数列中，，

分析

4．求下列数列的通项：

①，且=1，＞0

分析：数列是以1为首项，4位公差的等差数列，（压小思想，此处作用是检验：当，说明所求表达式正确，如果不放心可以继续检查一下第二项）

②，且=1

分析：类似上一题，数列是以1为首项2为公差的等差数列，

，再压小检验

③，且=1

④，且=1

⑤，且=1

⑥，，且=1

后面几题类似，分别换成数列

二．等比数列：①，或

②若，③也成等比数列

例题：

已知数列，，①设，求证：数列为等比数列；②设，求证：数列为等差数列

解：①由得，两式相减得，转化得：

，

由①知，∴，

2.设数列中，=1，，则它的通项

分析：由得：

…

把上面的式子加起来得：

或者这样表达也一样：

（递推方法）

三：数列的通项与求和（知道是等差或者等比数列时，设法求出公差或者公比，如的值，以下是非等差等比数列的求和）

1．（退一步）①数列满足：，求。

分析：由得：

两式相减得：，，压小检验是正确结果

②在数列中，﹥0，是它的前n项和，且，则它的

通项

分析：当时，由得，即，

﹥0，

当时，由得，两式相减得：

即

因式分解得：又﹥0

由前面可知

2．（解剖通项）如求下列各式的和：

①

分析：由已知得

各项相加，前一向和后一项各消去一项，最终结果是，（压小检验）

②

同理

③

同理

3．（等差+等比型）

分类讨论：

当时

当时，由得

两式相减得易得出结果，计算后压小检验

例题：

已知=2，点在函数的图像上，证明数列是等比数列；求；

分析；因为点在函数的图像上，

两边加1有，两边取对数得

求通项则前面类似例子

[类似：两边取对数则得到等比数列]

求数列前n项和的方法：公式法；拆项分组法；裂项相消法；倒序相加法；错位相减法等。

一些思想方法

Ⅰ.递推法：①等差数列：ⅰ）若，则

ⅱ）若，则

=

②等比数列：ⅰ）若，则

ⅱ）若，则

Ⅱ.构造法：①等差数列：若，

数列是以为首项，1为公差的等差数列，后面略

②等比数列：若，，求

分析：设

即，数列是以为首项为公比的等比数列

，压小检查显然正确

{证明一个数列是等差数列只须证（d为常数）或或；

证明一个数列是等比数列只须证（q为常数）或

二、解答题：

21、已知等差数列的前n项和为，

求公差d的取值范围；

22、已知数列的前n项和为满足,求.

23、已知等差数列中，前三项和为12，最后三项和为75，，各项和为145，，求此数列的通项公式。

24、已知：四个正数成等比数列，其积为16，中间两项的和为5，求公比及这四个数。

25已知等比数列中，，，，求、。

26已知等比数列前3项的和为，前6项的和为，求首项与公比。

27、已知等差数列中，，，求+的值。

28、设为等差数列，为数列的前项和，，，为数列的前项和，求。

29、设为等差数列，为等比数列，，，，分别求出及的前10项和及。

30、已知等差数列的前项和与等差数列的前项和的比，求的值。