六年级--数论综合.docVIP

六年级--数论综合

PAGE

六年级第8讲数论综合（一）

【兴趣篇】

4.一个各位数字均不为0的三位数能被8整除,将其中百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数(例如,按此方法由247将得到47、27、24)。已知这些两位数中一个是5的倍数，另一个是6的倍数，还有一个是7的倍数，原来的三位数是多少？

【分析与解】一个是5的倍数,各4位数字均不为0，所以三位数中一定有一个是5。

能被7整除有14、21、28、35、42、49、56、63。被5整除有15、25、35、45、55、65、75、85、95，能被6整除有12、18、24、36、42、48、54、66。经试得满足条件的三位数是656。

你能破解此密文吗?

【分析与解】由①得，A不能为3、7，B不能为4、8，C不能为2、1，21C÷12，当C为5时，余数是11，当C为8时，余数是2，当C为9时，余数是3，其它的不符合。

8B4÷12，当B为5时，余数是2，其它的不符合，所B只能是5，C只能是9。B、C是奇数，所以A只能是是偶数，A37÷12，有且只当A是4时，余数是5。

密文:A37|8B4|21C为437854219。

【拓展篇】

8.一个合数,其最大的两个约数之和为1164.求所有满足要求的合数.

【分析与解】一个合数,其最大的两个约数之和为1164，这两个数之间可以是两倍、三倍、

或11倍的关系，这样1164除去3乘2得第一个合数776，1164除去4乘3得第二个合数873，1164除去12乘11得第三个合数1067。所有满足要求的合数是776、873、1067。

9.已知a与b是两个正整数,且A＞B.请问:

⑴如果它们的最小公倍数是36,那么这两个正整数有多少种情况?

⑵如果它们的最小公倍数是120,那么这两个正整数有多少种情况?

【分析与解】⑴36分解质因数，a＞b，当a=36时，b有8种情况，当a=18时，b有2种情况，当a=12时，b有1种情况，当a=9时，b有1种情况，所以最小公倍数是36,那么这两个正整数有12种情况。

⑵120分解质因数，用⑴中的方法能解得最小公倍数是120,这两个正整数有31种情况。

12.如图15-l,在一个圆圈上有几十个孔(少于100个).小明像玩跳棋那样从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔.他先试着每隔2孔跳一步,结果只能跳到B孔.他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔.最后他每隔6孔跳一步,正好回到4孔.问这个圆圈上共有多少个孔?

【分析与解】设这个圆圈有n个孔,那么有n除以3余1,n除以5余1.n能被7整除．则将n-1是3、5的倍数,即是15的倍数,所以n=15t+1,又因为凡是7的倍数,即15t+1=7A,将系数与常数对7取模,有t+1≡0(mod7),所以t取6或6与7的倍数和.对应孔数为15×6+l=91或91与105的倍数和，满足题意的孔数只有91．即这个圆圈上共有91个孔．

【超越篇】

1． 有6个互不相同且不为0的自然数，其中任意5个数的和都是7的倍数，任意4个数的和都是6的倍数。请问：这6个数的和最小是多少？

【分析与解】我们由题可以想到，这6个数能被7整除，被6除余3,可以得出这6个数分别是:21、63、105、147、189、231。这6个数的和最小是756。

2． 设N=301×302×…×2005×2006，请问：

(1) N的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”？

(2) 用N不断除以12，直到结果不能被12整除为止，一共可以除以多少次12？

【分析与解】(1)要求N的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”，我们只要计算N有多少个2乘5，在N中5的因数比2少,所以就只要求出多少个因数5就可以了.305-2005有341个5的倍数,325-2000有68个25的倍数,375-2000有14个125的倍数,625-1925有3个125的倍数,所以一共有341+68+14+3=426个. N的末尾一共会出现426个连续的数字“0”.

(2)12=2×2×3,要求N一共可以除以多少次12,只要求N含有多少个2×2×3因式就可以了,用(1)的方法算出有多个2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024的倍数的数,一共算得有1700个，3的倍数的有1526，2×2的因式有850个，3的因式有1526，所以一共可以除以850次12。

3． 老师告诉贝贝和晶晶一个小于5000的四位数。这个四位数是5的倍数。贝贝计算出它与5！的最小公倍数，晶晶计算出它与10！的最大公约数，结果发现贝贝的计算结果恰好是晶晶的5倍。请问：这个四位数是多少？

【分析与解】贝