数学竞赛届到试题及答案.pdfVIP

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第1届IMO

1.求证(21n+4)/(14n+3)对每个自然数n都是最简分数。

2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A,试在以下3种情况下分别求出x的

实数解:

(a)A=√2;(b)A=1;(c)A=2。

3.a、b、c都是实数,已知cosx的二次方程

2

acosx+bcosx+c=0,

试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程,使它的根与原来的方程一样。当

a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。

4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c,斜边上的中线是两直角边的几何平

均值。

5.段AB上任意选取一点M,在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形

AMCD、MBEF,这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q,设这两个外接圆又交于M、

N,

(a.)求证AF、BC相交于N点;

(b.)求证不论点M如何选取直线MN都通过一定点S;

(c.)当M在A与B之间变动时,求线断PQ的中点的轨迹。

6.两个平面P、Q交于一线p,A为p上给定一点,C为Q上给定一点,并且这两

点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD(AB平行于CD),使得它有一个内切圆,

并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。

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