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第1届IMO
1.求证(21n+4)/(14n+3)对每个自然数n都是最简分数。
2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的
实数解：
(a)A=√2；(b)A=1；(c)A=2。
3.a、b、c都是实数，已知cosx的二次方程
2
acosx+bcosx+c=0,
试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当
a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。
4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平
均值。
5.段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形
AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、
N，
(a.)求证AF、BC相交于N点；
（b.)求证不论点M如何选取直线MN都通过一定点S；
(c.)当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。
6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两
点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，
并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。
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