麻省理工学院公开课微分方程课件.pdfVIP

麻省理工学院公开课微分方程课件.pdf

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18.03Class34,April30,2010

Complexorrepeatedeigenvalues

1.Eigenvaluesandcoefficients

2.Complexeigenvalues

3.Repeatedeigenvalues

4.Defectiveandcomplete

[1]Weweresolvingu=Au,withA=[ab;cd]:

A=[-21;-43]forexample.Orucouldbea3Dvector,

andAa3x3matrix.

(1)Findtheeigenvalues=rootslambda_1,lambda_2

ofthecharacteristicpolynomial

p_A(lambda)=det(A-lambdaI)

(2)Foreacheigenvalue,findanonzeroeigenvector:

(A-lambda_1I)v_1=0(A-lambda_2I)v_2=0

Normalmodes:u_1=e^{\lambda_1t}v_1,u_2=e^{\lambda_2t}v_2.

(3)Generalsolutionislinearcombinationofthese:u=c_1u_1+c_2u_2.

Thereareafewproblemswiththis,butbeforepointingthemoutletmemake

threecomments:

(a)Anymultipleofaneigenvectorisanothereigenvectorforthesame

eigenvalue;theyformaline,aneigenline.

(b)Thezerovectorisaneigenvectorforeveryvaluelambda,whether

lambdaisaneigenvalueornot.Mostofthetime0istheONLYeigenvector

forvaluelambda;lambdaisaneigenvalueexactlywhenthereisa

*nonzero*eigenvectorforthatvalue.

(c)p_A(lambda)=det(A-lambdaI)

=lambda^2-(a+d)lambda-(ad-bc)

ThesumofthediagonaltermsofasquarematrixisthetraceofA,

trA,so

p_A(lambda)=lambda^2-(trA)lambda+(detA)

Inourexample,trA=1anddetA=-2,and

p_A(lambda)=lambda^2-lambda-2.

[2]Theremaybenoraysolutions.RomeoandJulietprovidedoneexample.

Or,whatabout

A=[12;-21].

Letsapplythemethodandseewhathappens.tr(A)=2,det(A)=5,so

p_A(lambda)=lambda^2-2lambda+5=(lambda-1)^2+4

whichhasrootslambda_1=1+2i,lambda_2=1-2i.

Wecouldabandontheeffortatthispoint,butwehadsomuchfunand

succe

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