因式分解方法总结.docVIP

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赏析因式分解中的奇方妙法

因式分解常见的重要方法有：①提公因式法；②运用公式法；③分组分解法。但是，对于一些繁杂的多项式，倘若仅用这些方法则难以奏效。下面本文结合例题介绍六种因式分解的新颖方法，供同学们学习时使用。

方法一：十字相乘法

即将二次三项式的系数分解成，常数项分解成，并且把，排列如下：×，这里按斜线交叉相乘，再相加得到，如果它正好等于，那么就可以分解成

例1：分解因式

解：如右图所示：×由十字相乘法得，原式=

评注：利用十字相乘法分解因式的关键是把二次三项式中一次项系数和常数项分解因式，使得它们按斜线交叉相乘之积的和刚好等于原二次三项式中一次项的系数。

对应练习1：分解因式

方法二：双十字相乘法

即对于某些二次六项式，可以看做关于的二次三项式

，先用十字相乘法将常数项“”分解，再利用十字相乘法将关于的二次三项式分解。

例2：分解因式

解：原式=

=

=

评注：运用双十字相乘法对型的多项式分解因式的步骤如下：①用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；②在这个十字相乘图的右边再画一个“十”字，把常数项分解成两个因数，填在第二个十字的右端。使这两个因数在第二个十字交叉之积的和等于原式中含的一次项的系数，同时还必须与第一个十字左列的两个因数交叉相乘，使其交叉之积的和等于原式中含的一次项的系数

对应练习2：分解因式

方法三：整体换元法

即根据某复杂多项式的特征，把其中的某些部分看成一个整体，并用一个新的字母代替它，从而简化运算过程。但分解后要注意将新字母还原。

例3：分解因式

解：原式==

令，则有

原式====

评注：运用整体换元法分解因式是将原多项式的某一部分用一个字母代替，使原多项式变成引入新变元（或新变元和原来变元混合）的多项式，从而使某些数量关系明朗化，进而便于分解因式。

对应练习3：分解因式

方法四：巧选主元法

即当题目中的某多项式所含的字母较多，问题较复杂时，我们可以把某一个字母作为主元，而将其它字母作为常数去解决问题。

例4：分解因式

解：把原式看作的二次三项式去分解，则有

原式=

=

=

评注：当我们常见的字母作为主元难以分解时，不妨重选其它字母作主元，结合提公因式法、公式法和分组分解法等常见方法去分解因式，从而可以化难为易。

对应练习4：分解因式

方法五：活用配方法

即根据完全平方公式的形式和结合题设多项式的特点，将此多项式中的某一项拆成两项，或者在此多项式中添上两个符号相反绝对值相同的项，使得其可以化成完全平方公式或者平方差公式，从而简便分解因式。

例5：分解因式

解：原式=

=

=

=

==

评注：配方法是一种特殊的添拆项法。如何拆项或添项的关键依赖于对题目所给代数式特点的观察和分析。

对应练习5：分解因式

方法六：待定系数法

即先假定一个含有待定系数的恒等式，然后根据各项恒等的性质，列出几个含有待确定系数的方程组，解之求得待定系数的值；或者从方程组中消去这些待定系数，求出原来那些已知系数间所存在的关系，从而解决问题。

例6：分解因式

解：因为，所以设原式=

即

比较此等式两边对应项的系数得解得

故原式=

评注：利用待定系数法分解因式的数学思想是方程思想，其求解关键在利用相等多项式对应项系数相等的性质建立方程组，求出相关的待定系数的值。

对应练习6：分解因式

总之，对于因式分解题，只要我们仔细观察题设多项式的特点，合理灵活处理，这样新颖巧妙的分解因式的方法便应题而生。

对应练习题答案：

1原式=

2原式=

=

=

3设，则有

原式==

===

==

4把原式看作关于的二次三项式，则有

原式=

=

=

=

=

=

5原式=

=

=

=

=

=

6因为，所以可设原式=，从而有，由相等多项式对应项系数相等的性质得解得

故原式=