湖南省衡阳市2023-2024学年高三上学期期末数学试题（含答案解析）.docx

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湖南省衡阳市2023-2024学年高三上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合，则（????）

A． B． C． D．

2．下列函数的最小正周期为，且在上单调递减的是（????）

A． B．

C． D．

3．某旅游团计划去湖南旅游，该旅游团从长沙?衡阳?郴州?株洲?益阳这5个城市中选择4个（选择的4个城市按照到达的先后顺序分别记为第一站?第二站?第三站?第四站），且第一站不去株洲，则该旅游团四站的城市安排共有（????）

A．96种 B．84种 C．72种 D．60种

4．在复数范围内，是方程的两个不同的复数根，则的值为（????）

A．1 B． C．2 D．或2

5．星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕佮斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值和它们对应的亮度满足关系式，则（????）

A．3等星的亮度是0.5等星亮度的倍

B．0.5等星的亮度是3等星亮度的倍

C．3等星的亮度是0.5等星亮度的10倍

D．0.5等星的亮度是3等星亮度的10倍

6．已知是抛物线上的两点，为的焦点，，点到轴的距离为，则的最小值为（????）

A．9 B．10 C． D．

7．若函数与图象的交点为，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（????）

A．4 B．6 C． D．

8．在正三棱台中，，二面角为，则该三棱台的体积为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知半径为的圆的圆心在直线上，且圆与直线相切，则圆的圆心坐标可能为（????）

A． B． C． D．

10．若三个不同的平面两两相交，且，则交线的位置关系可能是（????）

A．重合 B．相交于一点 C．两两平行 D．恰有两条交线平行

11．已知平行四边形的面积为，且，则（????）

A．的最小值为2

B．当在上的投影向量为时，

C．的最小值为

D．当在上的投影向量为时，

12．已知函数的定义域为，函数是定义在上的奇函数，函数），则必有（????）

A． B．

C． D．

三、填空题

13．若，则.

14．已知椭圆的周长，其中分别为椭圆的长半轴长与短半轴长.现有如图所示的椭圆形镜子，其外轮廓是椭圆，且该椭圆的离心率为，长轴长为，则这面镜子的外轮廓的周长约为cm.（取3.14，结果精确到整数）

15．某中学高一?高二?高三的学生人数比例为，假设该中学高一?高二?高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率不大于0.233，已知该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，则的取值范围是.

16．若为正整数，记集合中的整数元素个数为，则数列的前62项和为.

四、解答题

17．已知某超市销售的袋装食用盐的质量（单位：）服从正态分布，且0.15.某次该超市称量了120袋食用盐，其总质量为的值恰好等于这120袋食用盐每袋的平均质量（单位：）.

(1)若从该超市销售的袋装食用盐中随机选取2袋，设这2袋中质量不小于的袋数为，求的分布列；

(2)若从该超市销售的袋装食用盐中随机选取（为正整数）袋，记质量在的袋数为，求满足的的最大值.

18．在平面四边形中，平分.

(1)证明：与相等或互补.

(2)若，求内切圆的半径.

19．在数列中，且.

(1)证明：是等差数列；

(2)设的前项和为，证明：.

20．在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，直线与平面交于点.

(1)求的长；

(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.

21．在平面直角坐标系中，，动点满足，点的轨迹记为曲线.

(1)求的方程.

(2)已知，过点的直线（斜率存在且斜率不为0）与交于两点，直线与交于点，若为圆上的动点，试问是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

22．已知函数.

(1)证明：当时，对恒成立.

(2)若存在，使得，比较与的大小，并说明理由.

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参考答案：

1．A

【分析】化简集合A,B再求交集即可.

【详解】因为，所以，

所以.

故选：A

2．C

【分析】求出各函数的周期和单调区间即可得出结论.

【详解】由题意，

A项，在中，