广东省广州市华南师大附中2024届高三上学期第二次调研数学试题（含答案解析）.docx

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广东省广州市华南师大附中2024届高三上学期第二次调研数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

2．已知向量.若与的夹角的余弦值为，则实数的值为（????）

A． B． C． D．

3．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，则（????）

A． B． C． D．

4．已知，其中，i为虚数单位，则以为根的一个一元二次方程是（????）

A． B． C． D．

5．已知数列是公比为q（）的正项等比数列，且，若，则（????）

A．4069 B．2023

C．2024 D．4046

6．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则15h后还剩污染物的百分数为（????）

A． B． C． D．

7．已知正六边形，把四边形沿直线翻折，使得点到达且二面角的平面角为.若点都在球的表面上，点都在球的表面上，则球与球的表面积之比为（????）

A． B． C． D．

8．已知，且满足，则下列结论一定正确的是（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知数列的前项和为，首项，且满足，则下列四个结论中正确的是（???）

A．数列是等比数列 B．

C． D．

10．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列结论中正确的是（????）

A． B．

C． D．

11．已知抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于两点，则（????）

A．线段长度的最小值为

B．当直线斜率为时，中点坐标为

C．以线段为直径的圆与直线相切

D．存在点，使得

12．已知函数及其导函数的定义域为R，若，函数和均为偶函数，则（????）

A．函数是周期为5的周期函数

B．函数的图象关于点对称

C．

D．函数的图象关于直线对称

三、填空题

13．已知的取值如下表：

1

2

3

4

32

48

72

88

根据表中的数据求得关于的回归直线方程为，则表中第2个记录数据的残差.

14．若数列满足，（），则.

15．在三棱锥中，侧面底面是等腰直角三角形，且斜边，，则三棱锥的外接球的表面积为．

16．函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为．

四、解答题

17．已知数列满足，且对于任意m，，都有．

(1)证明为等比数列，并求的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

18．在中，内角的对边分别为，向量，且．

(1)求；

(2)若的外接圆半径为2，且，求的面积．

19．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，分别是，的中点，点是线段上动点且恒成立.

(1)证明：；

(2)当三棱锥与三棱锥的体积之和为时，求平面与平面所成角的余弦值.

20．已知分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上异于的任意一点，直线、斜率乘积为，焦距为．

(1)求双曲线的方程；

(2)设过的直线与双曲线交于，两点（不与重合），记直线，的斜率为，，证明：为定值．

21．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为．

(1)求的概率分布列并求；

(2)求证：（且）为等比数列，并求出（且）．

22．已知函数.

(1)当时，讨论函数的单调性；

(2)若函数有两个零点，，且，求证：(其中是自然对数的底数).

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参考答案：

1．C

【分析】根据集合的交运算直接运算即可.

【详解】因为集合，，

所以，

故选：C.

2．D

【分析】根据平面向量数量积的坐标运算法则求解.

【详解】由题意：，，，

所以.

故选：D

3．D

【分析】利用诱导公式得到，求出点在第三象限，得到AB错误；并结合诱导公式和二倍角公式得到，由余弦函数单调性得到.

【详解】因为，

，

故点在第三象限，

故，，AB错误；

，

因为在上单调递减，

所以，故，，

所以，C错误，D正确.

故选：D

4．A

【分析】先根据复数相等求解出，然后再判断出能满足条件的方程即可.

【详解】因为，所以，

所以，所以，

因此所选方程的两根为，仅有符合要求，

故选：A.

5．D

【分析】由等比数列的性质可得，由，