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圆与扇形

圆与扇形

例题精讲

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．

圆的面积?πr2；扇形的面积?πr2?

n

；

360

n

圆的周长?2πr；扇形的弧长?2πr?360．

一、跟曲线有关的图形元素：

①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说

1 1 1

的 圆、 圆、 圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几

2 4 6

n

分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是 ．

360

n

比如：扇形的面积?所在圆的面积?360；

n

扇形中的弧长部分?所在圆的周长?360

n

扇形的周长?所在圆的周长?360?2?半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)

②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．

一般来说，弓形面积?扇形面积-三角形面积．(除了半圆)

③”弯角”：如图： 弯角的面积?正方形-扇形

④”谷子”：如图： “谷子”的面积?弓形面积?2二、常用的思想方法：

①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的)

②等积变形(割补、平移、旋转等)

③借来还去(加减法)

④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)

板块二 曲线型面积计算

4

【例1】如图，已知扇形BAC的面积是半圆ADB面积的3倍，则角CAB的度数是 ．

C

DA B

D

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空

π π π

π π π

【解析】设半圆ADB的半径为1，则半圆面积为 π?12? ，扇形BAC的面积为 ? ? ．因为扇形BAC

2 2 2 3 3

n n 2π

的面积为πr2? ，所以，π?22? ? ，得到n?60，即角CAB的度数是60度．

360 360 3

【答案】60度

【例2】如下图，直角三角形ABC的两条直角边分别长6和7，分别以B,C为圆心，2为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是17，那么角A是多少度(π?3)

6B

6

B

C

7

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答

【解析】S

△ABC

?1?6?7?21,2

三角形ABC内两扇形面积和为21?17?4，

?B??C

根据扇形面积公式两扇形面积和为 ?π?22?4,

360°

所以?B??C?120°,?A?60°.

【答案】60度

【例3】如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？

4 3

，是小圆面积的 ．如果量得小

15 5

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答

【解析】小圆的面积为π?52?25π，则大小圆相交部分面积为25π

3?15π,那么大圆的面积为

5

15π?4?225π，而225?15?15，所以大圆半径为7.5厘米．

15 4 4 2 2

【答案】7.5

【例4】有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是多少厘米？(π取3)

AB

A

B

C

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答

【解析】由右图知，绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和．

将图中与BC弧相似的6个弧所对的圆心角平移拼补，可得到6个角的和是360?，所以BC弧所对的圆心角是60?，6个BC弧合起来等于直径5厘米的圆的周长．而线段AB等于塑料管的直径，

由此知绳长为：5?6?5π?45(厘米)．

【答案】45

【例5】如图，边长为12厘米的正五边形，分别以正五边形的5个顶点为圆心，12厘米为半径作圆弧，请问：中间阴影部分的周长是多少？(π?3.14)

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答

【解析】如图，点C是在以B为中心的扇形上，所以AB?CB，同理CB?AC，则?ABC是正三角形，同理，有?CDE是正三角形．有?ACB??ECD?60，正五边形的一个内角是180?360?5?108，因此

?ECA?60?2?108?12，也就是说圆弧AE的长度是半径为12厘米的圆周的一部分，这样相同

的圆弧有5个，所以中间阴影部分的周长是2?3