《概率论与数理统计》随机变量及其分布.pptxVIP

汇报人：AA《概率论与数理统计》随机变量及其分布2024-01-20

目录随机变量基本概念常见离散型随机变量分布常见连续型随机变量分布随机变量数字特征多维随机变量及其分布大数定律与中心极限定理

01随机变量基本概念Chapter

随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。随机变量具有可测性，即对于任意实数x，随机变量的取值小于等于x的事件是一个可测事件。随机变量定义随机变量的性质定义与性质

取值可数的随机变量称为离散型随机变量。例如，掷一颗骰子出现的点数就是一个离散型随机变量。离散型随机变量取值充满某个区间的随机变量称为连续型随机变量。例如，测量某物体的长度就是一个连续型随机变量。连续型随机变量离散型与连续型随机变量

对于随机变量X，称函数F(x)=P{X≤x},?∞x+∞F(x)=P{Xleqx},-inftyx+inftyF(x)=P{X≤x},?∞x+∞为X的分布函数。分布函数具有单调不减、右连续等性质。分布函数对于连续型随机变量X，如果存在非负函数f(x)，使得对任意实数ab，有P{aX≤b}=∫abf(x)dxP{aXleqb}=int_a^bf(x)dxP{aX≤b}=∫ab?f(x)dx，则称f(x)为X的概率密度函数。概率密度函数具有非负性、规范性等性质。概率密度函数分布函数与概率密度函数

02常见离散型随机变量分布Chapter

03期望和方差E(X)=np，D(X)=np(1-p)。01定义在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验成功的概率为p，则成功次数X服从参数为n和p的二项分布，记为X~B(n,p)。02概率质量函数P{X=k}=C_n^kp^k(1-p)^(n-k)，k=0,1,2,...,n。二项分布

定义泊松分布是一种描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布，常用于描述稀有事件的概率分布。概率质量函数P{X=k}=(λ^k/k!)e^(-λ)，k=0,1,2,...，其中λ0是常数，表示单位时间内随机事件发生的平均次数。期望和方差E(X)=λ，D(X)=λ。泊松分布

123在伯努利试验中，记每次试验中事件A发生的概率为p，则首次成功所需试验次数X服从参数为p的几何分布。定义P{X=k}=(1-p)^(k-1)p，k=1,2,3,...。概率质量函数E(X)=1/p，D(X)=(1-p)/p^2。期望和方差几何分布

定义01在N个物品中有M个指定类型的物品，从中随机抽取n个物品，则抽取到指定类型物品的数量X服从参数为N,M,n的超几何分布。概率质量函数02P{X=k}=[C_M^kC_(N-M)^(n-k)]/C_N^n，k=max{0,n+M-N},...,min{n,M}。期望和方差03E(X)=(n*M)/N，D(X)=(n*M*(N-M)*(N-n))/(N^2*(N-1))。超几何分布

03常见连续型随机变量分布Chapter

在区间[a,b]内，若随机变量X的概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，则称X服从[a,b]上的均匀分布，记为X~U[a,b]。定义均匀分布具有等可能性，即每个子区间上的概率相等。其数学期望E(X)=(a+b)/2，方差D(X)=(b-a)^2/12。性质均匀分布常用于描述在某一区间内等可能出现的随机现象，如掷骰子、抽签等。应用均匀分布

性质指数分布具有无记忆性，即无论过去多长时间，未来某一事件发生的概率与过去无关。其数学期望E(X)=1/λ，方差D(X)=1/λ^2。定义若随机变量X的概率密度函数为f(x)=λe^(-λx)，x0，其中λ0为常数，则称X服从参数为λ的指数分布，记为X~E(λ)。应用指数分布常用于描述等待时间、寿命等连续型随机现象，如电话通话时长、电子元件寿命等。指数分布

定义若随机变量X的概率密度函数为f(x)=(1/√(2πσ^2))e^[-(x-μ)^2/(2σ^2)]，其中μ和σ^2分别为X的均值和方差，则称X服从参数为μ和σ^2的正态分布，记为X~N(μ,σ^2)。性质正态分布具有对称性、集中性和稳定性。其数学期望E(X)=μ，方差D(X)=σ^2。正态分布曲线下的面积与标准差σ有关，σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越平缓。应用正态分布是自然界和社会现象中最为常见的分布之一，广泛应用于质量控制、金融分析、医学研究等领域。正态分布

对数正态分布若随机变量X的对数lnX服从正态分布N(μ,σ^2)，则称X服从对数正态分布。对数正态分布的概率密度函数为f(x)=(1/xσ√(2π))e^[-(ln?x-μ)^2/(2σ^2)]，x0。性质对数正态分布具有正偏态性，即右尾比