初等函数与函数的运算.pptx

汇报人:XX2024-01-24初等函数与函数的运算

目录CONTENCT函数的基本概念与性质初等函数及其图像函数的四则运算函数的极限与连续函数的微分学函数的积分学

01函数的基本概念与性质

函数的定义设$x$和$y$是两个变量，如果对于$x$在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，$y$都有唯一确定的值与之对应，那么就说$y$是$x$的函数，记作$y=f(x)$。函数的表示方法函数可以用解析式、表格和图象三种方法表示。函数的定义与表示方法

有界性单调性周期性函数在某个区间内是否有界，即是否存在一个正数$M$，使得对于该区间内的任意$x$，都有$|f(x)|leqM$。函数在某个区间内是否单调增加或减少，即对于该区间内的任意两个数$x_1,x_2$（$x_1x_2$），都有$f(x_1)leqf(x_2)$或$f(x_1)geqf(x_2)$。函数是否具有周期性，即是否存在一个正数$T$，使得对于任意$x$，都有$f(x+T)=f(x)$。函数的性质

反函数复合函数反函数与复合函数如果对于函数$y=f(x)$，存在另一个函数$x=g(y)$，使得当$y=f(x)$时，有$x=g(y)$，那么称$g(y)$为$f(x)$的反函数。设函数$y=f(u)$的定义域为$D_f$，函数$u=g(x)$的定义域为$D_g$，且其值域$R_gsubseteqD_f$，则由下式确定的函数$y=f[g(x)]$（$xinD_g$）称为由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$构成的复合函数。

02初等函数及其图像

一次函数与正比例函数一次函数：$y=kx+b$（$kneq0$），其中$k$是斜率，$b$是截距。图像是一条直线，斜率为$k$，截距为$b$。当$k0$时，函数递增；当$k0$时，函数递减。图像是一条过原点的直线，斜率为$k$。当$k0$时，函数递增；当$k0$时，函数递减。正比例函数：$y=kx$（$kneq0$），是一种特殊的一次函数，其中$b=0$。

二次函数：$y=ax^2+bx+c$（$aneq0$），其中$a$、$b$、$c$是常数。图像是一条抛物线，对称轴为$x=-frac{b}{2a}$。当$a0$时，抛物线开口向上；当$a0$时，抛物线开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a},c-frac{b^2}{4a}right)$。二次函数

010405060302指数函数：$y=a^x$（$a0,aneq1$），其中$a$是底数。图像是一条从$(0,1)$出发的曲线，当$a1$时递增，当$0a1$时递减。指数函数的值域为$(0,+infty)$。对数函数：$y=log_ax$（$a0,aneq1$），其中$a$是底数。图像是一条从$(1,0)$出发的曲线，当$a1$时递增，当$0a1$时递减。对数函数的定义域为$(0,+infty)$，值域为$mathbb{R}$。指数函数与对数函数

三角函数的定义域和值域因具体函数而异。正弦函数和余弦函数的图像是周期性的波浪线，正切函数的图像是间断的直线。三角函数：包括正弦函数$y=sinx$、余弦函数$y=cosx$和正切函数$y=tanx$等。反三角函数：包括反正弦函数$y=arcsinx$、反余弦函数$y=arccosx$和反正切函数$y=arctanx$等。反三角函数的图像是相应三角函数的反函数图像，定义域和值域也因具体函数而异。三角函数与反三角函数

03函数的四则运算

定义：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，则它们的和函数为$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$，差函数为$(f-g)(x)=f(x)-g(x)$。性质交换律：$f+g=g+f$，$f-g=-(g-f)$结合律：$(f+g)+h=f+(g+h)$，$(f-g)-h=f-(g+h)$存在零函数$theta(x)$，使得$f+theta=f$存在负函数$-f(x)$，使得$f+(-f)=theta$函数的加法与减法

定义：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$（$g(x)neq0$），则它们的积函数为$(fcdotg)(x)=f(x)cdotg(x)$，商函数为$(f/g)(x)=f(x)/g(x)$（$g(x)neq0$）。性质交换律：$fcdotg=gcdotf$结合律：$(fcdotg)cdoth=fcdot(gcdoth)$分配律：$fc