有关角平分线的辅助线做法含例题与分析.docx

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由角平分线想到的辅助线

角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；

②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下

EAO

E

A

O

D

C

F

A

图1-1

B

（一）、截取构全等

如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例1．如图1-2，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。

分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分

D

EB F C

E

图1-2

线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。

简证：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。

例2．已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC

页脚

分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段

相等。其它问题自已证明。 A

ED

E

D

B 图1-3

例3．已知：如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD

分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？

练习

已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC

A

EC

E

B D

图1-4

已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求证：AE=2CE

已知：在△ABC中，ABAC,AD为∠BAC的平分线，M为AD上任一点。求证：BM-CMAB-AC

已知：D是△ABC的∠BAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DB、DC。求证：BD+CDAB+AC。

（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等

ADE

A

D

E

F

例1．如图2-1，已知ABAD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。

求证：∠ADC+∠B=180

页脚 B

C

图2-1

分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。

例2．如图2-2，在△ABC中，∠A=90 ，AB=AC，∠ABD=∠CBD。求证：BC=AB+AD

分析：过D作DE⊥BC于E，则AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。

A

DB C

D

E

图2-2

例3．已知如图2-3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：∠BAC

的平分线也经过点P。

NDP

ND

P

分析：连接AP，证AP平分∠BAC即可，也就是证P到AB、AC的距离相等。

练习：

如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA，PD⊥O

A，

如果PC=4，则PD=（ ）

MF

B

C

BC

B

C

P

A

A 4 B 3 C 2 D 1

O 图2-4 D

已知在△ABC中，∠C=90 ，AD平分∠CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。

已知：如图2-5,∠BAC=∠CAD,ABAD，CE⊥AB，

1

AE=2（AB+AD）.求证：∠D+∠B=180 。

已知：如图2-6,在正方形ABCD中，E为CD的中点，

B

F为BC

上的点，∠FAE=∠DAE。求证：AF=AD+CF。

A

EC

E

C

图2-5

已知：如图2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ,CD⊥AB，垂足为D，A

E平分∠CAB交CD于F，过F作FH//AB交BC于H。求证CF=BH。

C

AEF

A

E

F

H

页脚 E

A D B

B 图2-6F C 图2-7

（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形

从角的一边上的一点