优化设计作业.docx

作业

阐述优化设计数学模型的三要素。写出一般形式的数学模型。

答：建立最优化问题数学模型的三要素：

决策变量和参数。决策变量是由数学模型的解确定的未知数。参数表示系统的控制变量，有确定性的也有随机性的。

约束或限制条件。

由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括把决策变量限制在它们可行值之内的约束条件，而这通常是用约束的数学函数形式来表示的。

目标函数。

这是作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的效率，即系统追求的目标。

阐述设计可行域和不可行域的基本概念

答：约束对设计点在设计空间的活动范围有所限制。凡满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的可能活动范围，称可行设计区域(可行域)。不能满足所有约束条件的设计空间便是不可行设计区域(不可行域)。

3、无约束局部最优解的必要条件？

答： （1）一元函数(即单变量函数)极值点存在的必要条件

如果函数 f(x)的一阶导数f’(x)存在的话，则欲使x*为极值点的必要条件为：

f’(x*)=0

但使f’(x*)=0的点并不一定部是极值点；使函数f(x)的一阶导数f’(x)=0的点称为函数f(x)的驻点；极值点(对存在导数的函数)必为驻点，但驻点不一定是极值点。至于驻点是否为极值点可以通过二阶导数f’’(x)=0来判断。

（2）n元函数在定义域内极值点X*存在的必要条件为

??? ?

?

??f?X*? ?f?X*?

?f?X*??T

f X*? ?0

???x ?x ?x

?

?

1 2 n

?即对每一个变量的一阶偏导数值必须为零，或者说梯度为零(n维零向量)。

?

▽f(X*)=0是多元函数极值点存在的必要条件，而并非充分条件；满足▽f(X*)=0的点X*称为驻点，至于驻点是否为极值点，尚须通过二阶偏导数矩阵来判断。

阐述约束优化问题最优解的K-T条件。答：K-T条件可阐述为：

如果X(k)是一个局部极小点，则该点的目标函数梯度▽f(X(k))可表示成该点诸约束面梯度为▽

gu(X(k))、▽hv(X(k))的如下线性组合：

? ????q

? ????j

? ???

?f Xk ?

??g Xk ? ??h Xk ?0

u u v v

u?1 v?1

式中：q—在X(k)点的不等式约束面数；

j—在X(k)点的等式约束面数；

λu(u=1,2,…q)、μv(v=1,2,…j)——非负值的乘子，亦称拉格朗日乘子。如无等式约束，而全部是不等式约束，则式(3-20)中j＝0，第三项全部为零。

u v也可以对K-T条件用图形来说明。式(3-20)表明，如果X(k)，是一个局部极小点，则该点的目标函数梯度▽f(X(k))应落在该点诸约束面梯度▽g(X(k))、▽h(X(k))在设计空间所组成的锥角范围内。如图3-12所示，图(a)中设计点X(k)不是约束极值点，图(b)的设计点X(k)

u v

给出图中的可行设计点、边界设计点和不可行设计点。

6题图二维设计空间

答：内点X(1)、边界点X(3)均为可行设计点，边界点X(3)为边界设计点，外点X(2)则为不可行设计点。

6、根据逼近思想所构造的优化计算方法的基本规则是什么？

答：基本思想是：在设计空间从一个出始设计点X(0)开始，应用某一规定的算法，沿某一方向S(0)和步长α(0)产生改进设计的新点X(1)，使得f(X(1))＜f(X(0))，然后再从X(1)点开始，仍应用同一算法，沿某一方向S(1)和步长α(1)，产生又有改进的设计新点X(2)，使得f(X(2))＜f(X(1))，这样一步一步地搜索下去，使目标函数值步步下降，直至得到满足所规定精度要求的、逼近理论极小点的X*点为止。

7、数值迭代计算中，通常采用哪三种终止条件？

答： 1)点距准则 当相邻两迭代点X(k)，X(k+1)之间的距离已达到充分小时，即小于或等于规定的某一很小正数ε时，迭代终止。一般用两个迭代点向量差的模来表示，即

X?k?1??X?k???

用X(k+1)和X(k)在各坐标轴上的分量差来表示，即

X?k?1??X?k??? (i?1,2, ,n)

i i

函数下降量准则 当相邻两迭代点X(k)，X(k+1)的目标函数值的下降量已达到

充分小时。即小于或等于规定的莱一很小正数ε时，迭代终止。一般用目标函数值下降量的

? ? ?? ? ???

绝对值来表示，即f X

k?1

f Xk ??

?梯度准则 当目标函数在迭代点X(k+1)的梯度已达到充分小时，即小于或等于规定

?

的某一很小正数ε时，迭代终止。一般用