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2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，X?(X,X, X )?的联合分布密
1 2 p
度函数是一个p维的函数，而边际分布讨论是X?(X,X, X )?的子向量的概率分布，其概率密度
1 2 p
函数的维数小于p。
设二维随机向量(X
?1
?
X)?服从二元正态分布，写出其联合分布。
2
?? ??
?
??2 ? ?
解：设(X
X)?的均值向量为μ? ?
? ，协方差矩阵为? 1
12?，则其联合分布密
1 2
度函数为
1 2 ? ?2
21 2
? 1 ?2
??2
? ??1/2
?? 1
??2
? ??1 ??
2???? ?2 ?f(x)??
2?
?
?
? ?2 ?
12?
exp?? (x?μ)?? 1
12?
(x?μ)?。
??? ? ? ?221 2
?
?
?? 2
21 2 ?
已知随机向量(X X)?的联合密度函数为
1 2
f(x,x
2[(d?c)(x
)? 1
?a)?(b?a)(x
2
?c)?2(x
1
a)(x
2
?c)]
1 2 (b?a)2(d?c)2
其中a?x
1
?b，c?x
2
?d。求
随机变量X和X 的边缘密度函数、均值和方差；
1 2
随机变量X和X 的协方差和相关系数；
1 2
判断X和X 是否相互独立。
1 2
解：随机变量X和X 的边缘密度函数、均值和方差；
1 2
f (x
)??
d2[(d?c)(x
1
?a)?(b?a)(x
2
?c)?2(x
1
a)(x
2
?c)]
dx
x1 1 c
(b?a)2(d?c)2
2(d?c)(x?a)x(b?a)2(d?c)212d ?d2[(b?
2(d?c)(x?a)x
(b?a)2(d?c)2
1
2
? ? 2 1 2 dx
? ?c (b a)2(d c)
? ?
c
2(d?c)(x?a)x(b?a)2(d?c)
2(d?c)(x?a)x
(b?a)2(d?c)2
1
2
?
d
? ?
dt
1
0 (b?a)2(d?c)2
c
2(d?c)(x
2(d?c)(x?a)x
(b?a)2(d?c)2
1
2
[(b?a)t2?2(x?a)t2]
(b?a)2(d?c)2
1
? ?
? 1
b?a
c
b?a
0
?b?a?2
所以 由于X
1
服从均匀分布，则均值为 2 ，方差为 12 。
同理，由于X
服从均匀分布f
? 1(x)??d?c
x??c,d?
?1
?
，则均值为
d?c
，方差
2
?d?c?2
为 。
12
x2 2
??0 其它 2
解：随机变量X和X 的协方差和相关系数；
1 2
cov(x,x)
1 2
?d?b?
a?b?? d?c?2[(d?c)(x
?a)?(b?a)(x
?c)?2(x
a)(x
?c)]
? ?x? ??
x? ??1
2 1 2
dxdx
c a? 1
2 ?? 2 2 ?
(b?a)2(d?c)2 1 2
?(c?d)(b?a)
36
? cov(x,x) 1
? ??1 2 ?3
x x
1 2
解：判断X和X 是否相互独立。
1 2
X和X
1 2
由于f(x,x
1 2
)?f
x
1
(x)f
1 x
2
(x)，所以不独立。
2
p设X?(X,X, X )?服从正态分布，已知其协方差矩阵?为对角阵，证明其分量是相互独立的随
p
1 2
机变量。
解：因为X?(X,X,
1 2
X )?的密度函数为
2?p?? 1 ?p ?
2?
p
?
? 1 ?
f(x,...,x
1 p
)??
?
Σ1/2exp?? (x?μ)?Σ?1(x?μ)?
? ? 2 ?
??2 ?
??
?? ?
2
?又由于Σ 2
?
?
?
?2pΣ??2?
?2
p
?
?
?
??2?
?
p
1 2
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