2024年高考数学二轮复习第二部分专题强化训练考点十九圆锥曲线的方程与性质.docxVIP

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十九圆锥曲线的方程与性质

【核心题达标练】

1.(2022·成都一模)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a

A.33 B.32 C.3

【解析】选B.由题意得,a=2,b=1,所以c=a2-b2=3,所以离心率e=

2.(2023·西安模拟)已知椭圆x2m+y216=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,到另一焦点距离为7,则m等于

A.10 B.5 C.15 D.25

【解析】选D.由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=10,由椭圆x2m+y216=1可知,椭圆的焦点坐标在x轴,所以a=5,所以a2

3.(2023·成都模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=2x-5与双曲线y2a2-x2b2=1的一条渐近线平行,且双曲线的一个焦点在直线

A.x220-y25=1 B.

C.y220-x25=1 D.

【解析】选C.因为直线l:y=2x-5与双曲线y2a2

所以ab=2,即a=2b,由直线l:y=2x

令x=0,得y=-5,则双曲线的一个焦点为(0,-5),

即半焦距c=5,由c2=a2+b2=5b2=25,得b2=5,

所以a2=20,所以双曲线的方程为y220-x

4.(2023·商洛三模)设O为坐标原点,直线y=6与抛物线C:x2=2py(p0)交于A,B两点,若△OAB是正三角形,则点A到抛物线C的焦点的距离为 ()

A.252 B.13

C.23+1 D.23+1

【解析】选B.设A(x0,6),由对称性可知,|x0|=6tan30°=23,则12=12p,解得p=1,故点A到抛物线C的焦点的距离为6+p2=13

5.唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安,这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美,充分体现唐代金银器制作的高超技艺,是唐代金银细工的典范之作,该杯柱体部分的轴截面可以近似看作双曲线C的一部分.若C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=2,且点M(2,3)在C上,则双曲线C的标准方程为()

A.x23-y29=1 B.x

C.x23-y2=1 D.x2

【解题指南】由已知可得b2=3a2,设双曲线方程为x2a2-y23a

【解析】选A.由双曲线的离心率为2,可得ca

所以c2=4a2,所以a2+b2=4a2,所以b2=3a2,

因为C的中心在原点,焦点在x轴上,所以设双曲线方程为x2a2

因为点M(2,3)在C上,所以22a2-(3)23a2=1,所以a

6.已知曲线C:mx2+ny2=1,下列说法错误的是 ()

A.若mn0,则C是椭圆,其焦点在y轴上

B.若m=n0,则C是圆,其半径为n

C.若mn0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±-m

D.若m=0,n0,则C是两条直线

【解析】选B.对于选项A,因为mn0,所以01m1n,方程mx2+ny2=1可变形为x21m+y21

所以方程mx2+ny2=1可变形为x2+y2=1n,该方程表示半径为1n的圆,错误;对于选项C,因为mn0,所以该方程表示双曲线,令mx2+ny2=0?y=±-mnx,正确;对于选项D,因为m=0,n0,所以方程mx2+ny2=1变形为ny2=1?y

【名师点评】随着m,n符号、数值大小的变化,其对应曲线也不同,几何性质如焦点、渐近线都应有变化,这种代数形式的方程很有特点.

7.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为()

A.2 B.3 C.2 D.3

【解析】选B.解法一:(通性通法)由y2=4x可得抛物线的焦点F(1,0),准线方程为x=-1,如图,

过点P作准线x=-1的垂线,垂足为M,根据抛物线的定义可知PM=PF=4,

设P(x,y),则x-(-1)=4,解得x=3,将x=3代入y2=4x可得y=±23,所以△POF的面积为12|y||OF|=12×23×1=

解法二:(巧用结论)设∠PFx=θ,则|PF|=p1-cosθ=21-cosθ

设P(x,y),则|y|=|PF|sinθ=4×32=23

所以S△POF=12×|OF|×|y|=12×1×23=

8.设O为坐标原点,F为双曲线C:x212-y2b2=1(b0)的一个焦点,过F作C的一条渐近线的垂线,垂足为H,则|OH

A.b B.6 C.23 D.12+

【解析】选C.设F为右焦点,H在第一象限,由题意可得|OH|2=|OF|2-|FH|2,

因为|OF|=c,|FH|=b,由双曲线性质得|OH|2=c2-b2=a2,所以|OH|=a=12=23.

9.(2022·张家口一模)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F2,点M,N在双曲线的同一条渐近线上,O为坐标原点.若直线F2M平行于双曲线的另一条渐近线,且OF2⊥