2024年高考数学二轮复习高考大题循环练(第四周　每日一题).docxVIP

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高考大题循环练(第四周每日一题)

周一

用时:____分钟?

得分:____分?

1.(12分)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且1tanB,1sinA

(1)求a2

(2)若bc,求b2+

【解析】(1)由条件得:2sinA=1tanB+1tanC=cosBsinB+cosCsinC=sin

由正弦定理得:a2=2bc,所以a2bc=2

(2)因为bc及a2=2bc,则BC,角C一定为锐角,又△ABC为锐角三角形,

所以cosA

由余弦定理得:b2

b2+c

所以2bc+c2-b20,(6分)

即(bc)21+2(bc

解得:1-2bc1+2

又bc1,所以bc∈(1,1+

又b2+c2a2=b2+

令bc=x∈(1,1+2

则b2+c2a2=f(x)=

f(x)=12(1-1x2)

所以f(x)在(1,1+2)上单调递增,

又f(1)=1,f(1+2)=2,

所以b2+c2a

周二

用时:____分钟?

得分:____分?

2.(12分)已知数列{an}(n∈N+)满足a1=1,an+1=3n+3nan,且bn

(1)求数列{bn}的通项公式;

(2)求数列{an}的前n项和Sn.

【解析】(1)因为an+1=3n+3nan,所以a

又bn=ann,所以bn+1=an

又b1=a1=1,所以数列{bn}是以1为首项,3为公比的等比数列,所以bn=3n-1;(4分)

(2)由(1)知,bn=ann=3n

所以an=n·3n-1,(6分)

所以

Sn=1·30+2·31+3·32+4·33+…+(n-1)·3n-2+n·3n-1,3Sn=1·31+2·32+3·33+4·34+…+(n-1)·3n-1+n·3n,(8分)

两式相减可得:-2Sn=30+31+32+33+34+…+3n-1-n·3n,

所以-2Sn=3n-12-

故Sn=(2n-1

周三

用时:____分钟?

得分:____分?

3.(12分)图1是由矩形ABGF,Rt△ADE和菱形ABCD组成的一个平面图形,其中AB=2,AE=AF=1,∠BAD=60°.将该图形沿AB,AD折起使得AE与AF重合,连接CG,如图2.

(1)证明:图2中C,D,E,G四点共面;

(2)求图2中二面角A-CE-D的平面角的余弦值.

【解析】(1)在题图2中,因为四边形ABGE和ABCD分别是矩形和菱形,所以AB∥GE,AB∥CD,(2分)

所以GE∥CD,

所以C,D,E,G四点共面.(4分)

(2)在平面ABCD内过点A作AM⊥AD,以A为原点,AM,AD,AE所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(0,0,0),C(3,3,0),D(0,2,0),E(0,0,1),

所以=(3,3,0),=(0,0,1),=(0,-2,1),=(3,1,0),(6分)

设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),

则,即3x+3

令y=-1,则x=

所以n=(3,-1,0),(8分)

设平面CDE的法向量为m=(a,b,c),

则,

令a=3,可得m=(3,-3,-6),(10分)

所以cosm,n=m·n|

显然二面角A-CE-D为锐二面角,所以二面角A-CE-D的平面角的余弦值为34.

周四

用时:____分钟?

得分:____分?

4.(12分)某市举行招聘考试,共有4000人参加,分为初试和复试,初试通过后参加复试.为了解考生的考试情况,随机抽取了100名考生的初试成绩,并以此为样本绘制了样本频率分布直方图,如图所示.

(1)根据频率分布直方图,试求样本平均数的估计值;

(2)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ为样本平均数的估计值,σ≈13,试估计初试成绩不低于88分的人数;

(3)复试共三道题,第一题考生答对得5分,答错得0分,后两题考生每答对一道题得10分,答错得0分,答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.已知某考生进入复试,他在复试中第一题答对的概率为34,后两题答对的概率均为35,且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试成绩为Y,求Y

附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.

【解析】(1)样本平均数的估计值为(40×0.010+50×0.020+60×0.030+70×0.024+80×0.012+90×0.004)×10=62;(3分)

(2)因为考生初试成绩X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ=62,σ2=132,

则μ+2σ=62+2×13=88,所以P(X≥88)=P(X≥μ+2σ)≈12×(1-0.9545)=0.

所