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高考大题循环练(第六周每日一题)
周一
用时:____分钟?
得分:____分?
1.(12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且△ABC的面积S=14ac·tan
(1)求B;
(2)若a,b,c成等差数列,△ABC的面积为32,求
【解析】(1)因为S=14ac·tanB=12ac·sin
所以cosB=sinBtanB
因为B∈(0,π),所以B=π3.
(2)因为a,b,c成等差数列,
所以2b=a+c,(6分)
由余弦定理知,cosB=a2+c
化简得a2+c2-b2=ac,
即(a+c)2-b2=3ac,(8分)
所以3b2=3ac,即b2=ac,(10分)
又S=12ac·sinB
所以32=12·b2·sin
解得b=2.(12分)
周二
用时:____分钟?
得分:____分?
2.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1,2nan-2Sn=n2-n,n∈N*.
(1)求证:数列{an}是等差数列;
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn=2n-1,令cn=an2bn,求数列{cn}的前n
【解析】(1)当n≥2时,由2nan-2Sn=n2-n可得2(n-1)an-1-2Sn-1=(n-1)2-(n-1),(2分)
上面两式相减可得2(n-1)an-2(n-1)an-1=2(n-1),则an-an-1=1,
所以数列{an}是等差数列;(4分)
(2)由数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn=2n-1,
可得b1=T1=2-1=1,n≥2时,bn=Tn-Tn-1=2n-1-2n-1+1=2n-1,上式对n=1也成立,
则bn=2n-1,n∈N*;(6分)
又an=n,所以cn=an2b
Rn=120+421+92
12Rn=121+422+9
上面两式相减可得12Rn=1+321+522+…
则14Rn=12+322+523+
上面两式相减可得14Rn=1+2(12+122+…+12n-1)-
化简可得Rn=12-n2+4
周三
用时:____分钟?
得分:____分?
3.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,O是AD的中点,点E在PC上,且AP∥平面BOE.
(1)求PEPC
(2)若OP⊥平面ABCD,OE⊥PC,AB=2,∠BAD=60°,求直线OE与平面PBC所成角的正弦值.
【解析】(1)连接AC与BO交于点F,连接EF,
因为底面ABCD是菱形,O是AD的中点,
所以AO∥BC,且AO=12BC
所以AF=12FC.
因为AP∥平面BOE,AP?平面APC,平面APC∩平面BOE=EF,
所以AP∥EF,
所以AFFC=PEEC=12,所以PE
(2)因为底面ABCD是菱形,O是AD的中点,∠BAD=60°,所以BO⊥AD.
因为OP⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,BO?平面ABCD,
所以OP⊥AD,OP⊥BO,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
则O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,3,0),C(-2,3,0).(6分)
设P(0,0,h),h0,则=(-2,3,-h),
所以=+=+13=(-23,33,2?3).
因为OE⊥PC,
所以·=43+1-2?2
解得h=142.
所以=(-23,33,143),=(-2,0,0),=(0,3,-142)
设n=(x,y,z)为平面PBC的法向量,则n·=0,n·=0,得-2x=0
取z=23,所以n=(0,14,23)为平面PBC的一个法向量.(10分)
因为|cosn,|
=|
=313
所以直线OE与平面PBC所成角的正弦值是31313
周四
用时:____分钟?
得分:____分?
4.(12分)甲、乙两位足球爱好者为了提高球技,轮流进行点球训练(每人各踢一次为一轮),在相同的条件下,每轮甲、乙两人在同一位置,一人踢球另一人扑球,甲先踢,每人踢一次球,两人有一人进球另一人不进球,进球者得1分,不进球者得-1分;两人都进球或都不进球,两人均得0分,设甲、乙每次踢球命中的概率均为12,甲扑到乙踢出球的概率为12,乙扑到甲踢出球的概率为1
(1)经过1轮踢球,记甲的得分为X,求X的分布列及数学期望;
(2)求经过3轮踢球累计得分后,甲得分高于乙得分的概率.
【解析】(1)记一轮踢球,甲进球为事件A,乙进球为事件B,A,B相互独立,
由题意得:P(A)=12×(1-13)=13,P(B)=12×(1-
甲的得分X的可能取值为-1,0,1,
P(X=-1)=P(AB)=P(A)P(B)=(1-13)×14=
P(X=0)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=13×14+(1-13)×(1-
P(X=1
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