2024年高考数学二轮复习第二部分专题强化训练考点十二空间向量与空间角.docxVIP

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十二空间向量与空间角

【核心题达标练】

1.(2022·赤峰三模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为B1C1,BC的中点,则异面直线AQ与BP所成角的余弦值是 ()

A.15 B.25 C.110

【解析】选A.如图,以AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为2,则A(0,0,0),B(2,0,0),P(2,1,2),Q(2,1,0),

则=(2,1,0),=(0,1,2),

因为cos,==15×5=15

所以异面直线AQ与BP所成角的余弦值为15

2.直线l的方向向量为a,两个平面α,β的法向量分别为n,m,则下列命题为假命题的是 ()

A.若a⊥n,则直线l∥平面α

B.若a∥n,则直线l⊥平面α

C.若cosa,n=12,则直线l与平面α所成角的大小为

D.若cosm,n=32,则平面α,β所成锐角的大小为

【解析】选A.对A,若a⊥n,则直线l∥平面α或直线l?平面α,A错误;

对B,若a∥n,则直线l⊥平面α,B正确;

对C,设直线l与平面α所成角的大小为θ0≤θ≤π2,则sinθ=cosa,n

对D,设平面α,β所成锐角的大小为θ,则cosθ=cosm,n=32,所以,

【误区警示】直线的方向向量与法向量的夹角的余弦的绝对值不等于线面角的余弦值,而是正弦值.

3.如图为一个四棱锥与三棱锥的组合体,C,D,E三点共线,已知三棱锥P-ADE四个面都为直角三角形,且ED⊥AD,PA⊥平面ABCE,PE=3,CD=AD=2,ED=1,则直线PC与平面PAE所成角的正弦值等于 ()

A.34 B.105 C.155

【解析】选C.如图建立空间直角坐标系,P0,0,2,C2,2,0,A0,0,0,

设平面PAE的法向量n=x,

则有2x-y=02z=0

即n=(1,2,0),

所以cos,n==-155,即直线PC与平面PAE所成角的正弦值为155.

4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是线段AD1上的动点,则直线PB1与直线AB所成角的余弦值的最大值是 ()

A.36 B.22 C.12

【解题指南】设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,建立空间直角坐标系Dxyz,由题意,设P(x,0,1-x),0≤x≤1,然后利用向量法即可求解.

【解析】选D.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,由题意,设Px,0,

因为B11,1,1,A1

所以=1-x,1,x

设直线PB1与直线AB所成角为θ,

则cosθ===11-x2+12+x

当且仅当x=12时等号成立

所以直线PB1与直线AB所成角的余弦值的最大值是63

5.(2022·毕节三模)在正四棱锥S-ABCD中,底面边长为22,侧棱长为4,点P是底面ABCD内一动点,且SP=13,则当A,P两点间距离最小时,直线BP与直线SC所成角的余弦值为 ()

A.510 B.310 C.210

【解析】选A.如图所示,连接AC,BD交于点O,连接PO,

因为四棱锥S-ABCD为正四棱锥,可得SO⊥底面ABCD,由底面边长为22,可得AC=4,所以AO=2,

在Rt△SOA中,SA=4,AO=2,

可得SO=SA2-

又由SP=13,在Rt△SOP中,

可得OP=SP

即点P在以O为圆心,以1为半径的圆上,

所以当P为圆与OA的交点时,此时A,P两点间距离最小,最小值为AP=1,

以OA,OB,OS所在直线分别为x轴、y轴和z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,

可得P(1,0,0),B(0,2,0),S(0,0,23),C(-2,0,0),

则=(1,-2,0),=(-2,0,-23),

可得cos,==-25×4=510

所以直线BP与直线SC所成角的余弦值为510

6.(2023·成都模拟)点A,B在以PC为直径的球O的表面上,且AB⊥BC,AB=BC=2,已知球O的表面积是12π,设直线PB和AC所成角的大小为α,直线PB和平面PAC所成角的大小为β,四面体P-ABC内切球半径为r,下列说法中正确的个数是()

①BC⊥平面PAB;

②平面PAC⊥平面ABC;

③sinα=cosβ;

④r12

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】选C.对于①,因为PC为球O的直径,B为球O上一点,

所以PB⊥BC,又AB⊥BC,PB∩AB=B,PB,AB?平面PAB,

所以BC⊥平面PAB,①正确;

对于②,因为PC为球O的直径,A为球O上一点,

所以PA⊥AC,

由①知:BC⊥平面PAB,又PA?平面PAB,所以BC⊥PA,

因为AC∩BC=C,AC,BC?平面ABC,

所以PA⊥平面ABC,

又P