2024年高考数学二轮复习第二部分专题强化训练考点九数列奇偶项问题.docxVIP

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九数列奇偶项问题

1.已知数列{an}满足an=n·sinnπ2,数列{bn}满足bn=an+an+1,其中n∈N*,则数列{bn}的前2023项和为 (

A.-2025 B.-2023

C.-2 D.0

【解析】选A.因为an=n·sinnπ

所以a1=sinπ2=1,a2

a3=3sin3π2=-3,a4

a5=5sin5π2=5,

所以an=n·sinnπ2=0,n

所以b1+b2=-2,b3+b4=2,b5+b6=-2,…,b2021+b2022=-2,

b2023=a2023+a2024=-2023+0=-2023,

所以数列{bn}的前2023项和为-2025.

2.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,则数列{an}的前n项和Sn=________.?

【解析】由数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,

所以5=a1+a2=2+a2,解得a2=3.

当n=2k(k∈N*)时,数列{an}的前n项和

Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2k-1+a2k)

=5+5+…+5=5k=5n

当n=2k-1(k∈N*)时,数列{an}的前n项和

Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2k-3+a2k-2)+a2k-1=5(n-

所以Sn=5n

答案:5

3.数列{an}满足:a1=0,an+1+an=2n,求通项an.

【解析】因为a1=0,an+1+an=2n,

所以当n=1时,a2=2-a1=2,

当n≥2时,an+an-1=2(n-1),

两式相减得:an+1-an-1=2(n≥2),

所以a1,a3,a5,…构成以a1为首项,2为公差的等差数列;

a2,a4,a6,…构成以a2为首项,2为公差的等差数列,

所以当n=2k-1(k∈N*)时,a2k-1=a1+(k-1)×2=2k-2=n-1,

当n=2k(k∈N*)时,a2k=a2+(k-1)×2=2k=n,

所以an=n-

4.已知数列{an}的前n项和Sn,其中an0,且2Sn=an+1

(1)求{an}的通项公式;

(2)设bn=(-1)n·an,求数列{bn}的前2023项和T2023.

【解析】(1)因为an0,则Sn0,an+10,

由2Sn=an+1,可得4Sn=(

当n=1时,则4a1=(a

整理得(a1-1

当n≥2时,则4Sn-1=(a

作差可得4an=(an

=an2-an-12+2a

整理得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,

因为an0,则an+an-10,

可得an-an-1-2=0,

即an-an-1=2,

故数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,

所以an=1+2(n-1)=2n-1.

(2)由(1)可得:bn=(-1)n·(2n-1),

当n为偶数时,则bn+bn+1=(2n-1)-[2(n+1)-1]=-2,

所以T2023=b1+b2+b3+…+b2023

=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+…+(b2022+b2023)

=-1+(-2)+(-2)+…+(-2)

=-1+(-2)×1011=-2023,

即T2023=-2023.

5.(2023·深圳模拟)已知等差数列{an}满足a3=10,a5-2a2=6.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)数列{bn}满足bn=2n-1,n为奇数12an-1,

【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,

因为a3=10,a5-2a2=6.

则a1

解得a1

所以an=2+4(n-1)=4n-2.

(2)由(1)可得bn=2n

则T2n=(b1+b3+…+b2n-1)+(b2+b4+…+b2n)

=(1+22+…+22n-2)+[1+5+…+(4n-3)]

=1-4

=2n2-n+4n

所以T2n=2n2-n+4n

6.(2023·郑州模拟)已知数列{an}满足:a1=3,an=an-1+2n-1(n≥2,n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)令bn=an-1+(-1)nlog2(an-1),求数列{bn}的前n项和Tn.

【解析】(1)因为an-an-1=2n-1(n≥2),

所以由条件,当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-1-an-2

=3+2+22+…+2n-2+2n-1=2+1-2n

经检验知当n=1时,结论也成立,

故an=2n+1,n∈N*.

(2)因为bn=2n+(-1)nn,

当n为偶数时,Tn=(2+4+8+…+2n)+[-1+2-3+4-…-(n-1)+n]=