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11-
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高考大题循环练
高考大题循环练(第一周每日一题)
周一
用时:____分钟?
得分:____分?
1.(12分)在①(a-c)sin(A+B)=(a-b)(sinA+sinB);②2S=3·;③bcosC=a-33csinB这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.问题:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且________.?
(1)求角B的大小;
(2)AC边上的中线BD=2,求△ABC面积的最大值.
【解析】(1)若选①,在△ABC中,因为sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,
又(a-c)sin(A+B)=(a-b)(sinA+sinB),
可得(a-c)sinC=(a-b)(sinA+sinB),(2分)
由正弦定理得(a-c)c=(a-b)(a+b),
整理得c2+a
所以cosB=12
又0Bπ,所以B=π3
若选②:因为2S=3·,
所以2×12acsinB=3accosB
所以sinB=3cosB,
即tanB=3,(4分)
又0Bπ,所以B=π3
若选③:由bcosC=a-33csinB
可得3sinBcosC=3sinA-3sinCsinB,(2分)
所以3sinBcosC=3sin(B+C)-3sinCsinB,
所以3sinBcosC=3sinBcosC+3cosBsinC-3sinCsinB,所以3cosBsinC=3sinCsinB,
所以tanB=3,(4分)
因为0Bπ,所以B=π3
(2)如图延长BD到E,使得BD=DE,连接AE,CE,则=+,
则=12(+),(7分)
所以=14(+2·+)=4,
即4=14(a2+c2+2accosπ
所以a2+c2=16-ac≥2ac,
当且仅当a=c时取等号,
解得ac≤163
所以△ABC面积S=12acsinB≤12×163×32
所以△ABC面积的最大值为433
周二
用时:____分钟?
得分:____分?
2.(12分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn+12-
(1)求Sn;
(2)在数列{an}的每相邻两项ak,ak+1之间依次插入a1,a2,…,ak,得到数列{bn}:a1,a1,a2,a1,a2,a3,a1,a2,a3,a4,…,求{bn}的前20项和T20.
【解析】(1)因为Sn+12-Sn2=8n,当n≥2时,Sn2=(Sn2-Sn-12)+…+(S22-S12
因为an0,
所以Sn0,故Sn=2n-1.
当n=1时,S1=a1=1适合上式,(5分)
所以Sn=2n-1,n∈N*.(6分)
(2)因为Sn=2n-1,n∈N*,
所以当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-3)=2.
所以an=1,
所以数列{bn}:1,1,2,1,2,2,1,2,2,2,…,
设1+2+…+n=n(
解得n≤5,(10分)
{bn}的前20项是由6个1与14个2组成.
所以T20=6×1+14×2=34.(12分)
周三
用时:____分钟?
得分:____分?
3.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA=PC,AB=BC.
(1)求证:PB⊥AC;
(2)若平面PCD⊥平面ABCD,AB∥CD,且AB=2CD=2,∠ABC=90°,二面角P-BC-D的大小为45°,求直线PB与平面PAD所成角的正弦值.
【解析】(1)取AC的中点M,连接MB,MP,
在△PAC中,PA=PC,MA=MC,所以MP⊥AC,
同理在△ABC中,AB=BC,MA=MC,
所以MB⊥AC,
且MP∩MB=M,MP,MB?平面PMB,
所以AC⊥平面PMB,(4分)
又PB?平面PMB,
所以PB⊥AC.(5分)
(2)因为平面PCD⊥平面ABCD,交线为CD,
又∠ABC=90°,AB∥CD,
所以BC⊥CD,
因为BC?平面ABCD,
所以BC⊥平面PCD,
因为PC?平面PCD,
所以BC⊥PC,故∠PCD为二面角P-BC-D的平面角,∠PCD=45°,(7分)
以B为原点,BC所在直线为x轴,BA所在直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(0,0,0),P(2,2,2),A(0,2,0),C(2,0,0),D(2,1,0),
则=(0,1,2),=(2,-1,0),(9分)
设平面PAD的一个法向量为n=(x,y,z),
则?y+2z
令x=1,得n=(1,2,-1),
又=(2,2,2),(11分)
设直线BP与平面PAD所成角为θ,所以sinθ=|cosn,|==23.(12分)
周四
用时:____分钟?
得分:____分?
4.(12分)据某公司
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