2024年高考数学二轮复习第二部分专题强化训练考点七数列求和及综合应用.docxVIP

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七数列求和及综合应用

【核心题达标练】

1.已知等比数列an的前n项和为Sn,公比为3,且S4-2S2=6,则S6= (

A.36 B.39 C.40 D.44

【解析】选B.由题意等比数列an的前n项和为Sn,公比为3,S4-2S2

a1+a2+a3+a4-2(a1+a2)=a3+a4-(a1+a2)=3a1+33a1-(a1+3a1)=6,可得a1=3(

所以S6=3(3

2.已知Sn是等差数列an的前n项和,若对任意的n∈N*,均有S6≤Sn成立,则a17a9的最小值为

A.2 B.52 C.3 D.

【解析】选D.因为等差数列an中,对任意的n∈N*,均有S6≤Sn成立,故当n=6时,Sn取得最小值,则a10,d0,当a6=a1+5d=0时,S5=S6为最小值,此时a1=-5d,则a17a9=a1

当a6=a1+5d0,a7=a1+6d≥0时,-6≤a1d-5,所以2≤a1d+83,

则a17a9=a1+16da

综上,a17a9

3.已知数列{an}满足an+1+(-1)n+1an=2,则其前100项和为

A.250 B.200 C.150 D.100

【解析】选D.当n=2k(k∈N*)时,a2k+1-a2k=2,当n=2k-1(k∈N*)时,a2k+a2k-1=2,当n=2k+1(k∈N*)时,a2k+2+a2k+1=2,所以a2k+1+a2k-1=4,a2k+2+a2k=0,所以{an}的前100项和为(a1+a3)+…+(a97+a99)+(a2+a4)+…+(a98+a100)=25×4+25×0=100.

4.已知数列{an}的通项公式为an=n2-2λn(n∈N*),则“λ1”是“数列{an}为递增数列”的 ()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.若数列{an}为递增数列,

则有an+1-an0,得2n+12

得λ2n+12,对任意的n∈N*都成立,于是λ32.由λ1可推得λ32,但反过来,由λ32不能得到λ1,因此“

5.(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8= ()

A.120 B.85 C.-85 D.-120

【解析】选C.方法一:设等比数列{an}的公比为q,首项为a1,若q=1,则S6=6a1=3×2a1=3S2,与题意不符,所以q≠1;

由S4=-5,S6=21S2可得,a1(1-q4

由①可得,1+q2+q4=21,解得:q2=4,

所以S8=a1(1-q8)

方法二:设等比数列{an}的公比为q,

因为S4=-5,S6=21S2,所以q≠-1,否则S4=0,

从而S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6成等比数列,

所以有(-5-S2)2=S2(21S2+5),

解得:S2=-1或S2=54

当S2=-1时,S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6,即为-1,-4,-16,S8+21,

易知,S8+21=-64,即S8=-85;

当S2=54时,S4=a1+a2+a3+a4=(a1+a2)(1+q2)=(1+q2)S20,与S4=-5矛盾,舍去

6.(2023·绵阳模拟)已知各项都为正数的等比数列{an},满足a3=2a1+a2,若存在两项am,an,使得aman=4a1,则1m+4n

A.2 B.32 C.13 D

【解析】选B.因为正项等比数列{an}满足a3=2a1+a2,

设其公比为q,则a10,q0,

所以a1q2=2a1+a1q,

得q2-q-2=0,解得q=2,

因为aman=4

所以aman=16a1

则(a1·2m-1)·(a1·2n-1)=16a1

即2m+n-2=16=24,故m+n=6,

所以1m+4n=16(m+n)(1m+4n)=16(5+nm+4

当且仅当nm=4mn,即n=2m=4时,等号成立,故1m+

7.将数列2n-1与3n-2的公共项从小到大排列得到数列an

【解析】因为数列2n-1是以1为首项,以2为公差的等差数列,数列3n-2是以1为首项,以3为公差的等差数列,所以这两个数列的公共项所构成的新数列an是以1为首项,以6为公差的等差数列,所以an的前n项和为

答案:3n2-2n

8.已知函数f(n)=n2cos(nπ),且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+…+a20=__________.?

【解析】当n为奇数时,an=f(n)+fn

=n2cosnπ+n+12cosn+1π=n+12

当n为偶数时,an=f(n)+fn

=n2cosnπ+n+12cosn+1π=n2-(n+1)

所以an=2n

所以

a1+a2+…+a20=3-5+7-9+11-13+…+