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微积分(函数的极值最值及其应用)精品课件

目录contents引言函数的极值概念函数的最值概念极值和最值的应用习题解答总结与展望

01引言

微积分(函数的极值最值及其应用)课程名称对微积分感兴趣的学生、数学爱好者、研究者等适用对象掌握函数的极值和最值的概念、性质及其应用，提高数学思维和解决问题的能力。课程目标课程简介习目标理解函数极值和最值的基本概念和性质，掌握判断函数极值和最值的方法。了解极值和最值在数学和实际生活中的应用，如优化问题、经济问题等。通过实际问题的解决，提高数学建模和解决问题的能力。培养对微积分的兴趣，提高数学素养和思维水平。

02函数的极值概念

极值的第一充分条件总结词函数在某点的导数等于零，则该点可能是极值点。详细描述当函数在某点的导数为零时，该点可能是极值点。这是因为函数在该点的切线与x轴平行，函数值可能发生改变。

总结词函数在某点的二阶导数大于零，则该点是极小值点；二阶导数小于零，则该点是极大值点。详细描述函数的二阶导数可以判断函数在极值点处的凹凸性。如果二阶导数大于零，说明函数在极值点处是凹的，因此该点是极小值点；如果二阶导数小于零，说明函数在极值点处是凸的，因此该点是极大值点。极值的第二充分条件

VS当函数在某点的导数等于零，且该点的领域内没有其他极值点，则该点是函数的极值点。详细描述如果函数在某点的导数为零，且该点的领域内没有其他极值点，那么该点就是函数的极值点。这是因为该点处的函数值在该点的领域内是唯一的最大或最小值。总结词极值的第三充分条件

03函数的最值概念

函数的最值函数在某个区间内的最大值和最小值。单调性函数在某个区间内单调递增或单调递减。极值点函数在某点的导数为零或不存在，该点为极值点。最值的定义030201

通过求导数判断函数的单调性，进而求得最值。导数法对于二次函数，通过判别式判断最值。二次函数法对于一些可化为完全平方的函数，通过配方求最值。配方法求最值的方法

在闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值。最值的唯一性最值一定在闭区间的端点或极值点处取得。最值的区间性两个区间上的最值之和等于它们区间长度之和的常数倍。最值的可加性最值的性质

04极值和最值的应用

在经济中的应用在成本效益分析中，极值和最值理论可以用于确定企业的最优生产规模或投资规模，以实现利润最大化。成本效益分析极值和最值理论在投资组合优化中有着广泛应用。投资者可以利用这些理论来寻找最优的投资组合，以最大化收益或最小化风险。投资组合优化在经济学中，极值和最值理论可以用于解决供需平衡问题。例如，通过找到使供需达到平衡的价格和数量，可以解决诸如市场垄断、价格歧视等问题。供需平衡

弹性力学01在弹性力学中，极值和最值理论可以用于研究物体的形变和应力分布。例如，通过找到使物体内部应力达到极值的点，可以预测物体的破坏点。流体动力学02在流体动力学中，极值和最值理论可以用于研究流体在管道或容器内的流动。例如，通过找到使流体压力或速度达到极值的点，可以优化流体流动的路径和速度。光学设计03在光学设计中，极值和最值理论可以用于研究光的传播和聚焦。例如，通过找到使光能量达到极值的点，可以设计出高性能的光学镜头和反射镜。在物理中的应用

结构设计在工程结构设计中，极值和最值理论可以用于研究结构的稳定性和安全性。例如，通过找到使结构应力或位移达到极值的点，可以优化结构设计并提高其稳定性。控制系统设计在控制系统设计中，极值和最值理论可以用于研究系统的动态特性和稳定性。例如，通过找到使系统响应达到极值的控制参数，可以优化系统性能并提高其稳定性。在工程中的应用

05习题解答

正确理解这道题考察的是对极值概念的理解，需要明确极值是在一个点的邻域内相对于其他点而言的，而不是在整个定义域内。掌握计算方法在求极值时，需要掌握一阶导数等于零的点，这些点可能是极值点。此外，还需判断在这些点的一阶导数的符号变化，以确定是极大值还是极小值。细心计算在计算过程中，需要细心处理符号和数值，确保计算的准确性。特别是在处理导数等于零的点时，需要特别小心。习题一解答

理解题目要求这道题要求求函数的最大值和最小值，需要明确题目要求的是在整个定义域上还是在一个特定区间上。习题二解答

选择合适的方法求函数的最值，可以通过求一阶导数等于零的点，然后判断在这些点的一阶导数的符号变化来确定是极大值还是极小值。此外，也可以使用二阶导数来判断是极大值还是极小值，以及是否是最大值或最小值。习题二解答

习题二解答细心计算在计算过程中，需要细心处理符号和数值，确保计算的准确性。特别是在处理二阶导数等于零的点时，需要特别小心。

VS理解题目背景这道题涉及到实际应用问题，需要理解题目背景和问题要求，将实际问题转化为数学模型。习题三解答

建立数学模型根据题目要求，需要建立适当的数学