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弦振动的研究
一、实验目的
1、观察固定均匀弦振动共振干涉形成驻波时的波形,加深驻波的认识。
2、了解固定弦振动固有频率与弦线的线密ρ、弦长L和弦的张力Τ的关系,并进行测量。
二、实验仪器
弦线,电子天平,滑轮及支架,砝码,电振音叉,米尺三、实验原理
为了研究问题的方便,认为波动是从A点发出的,沿弦线朝B端方向传播,称为入射波,再由B端反射沿弦线朝A端传播,称为反射波。入射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传播时将相互干涉,移动劈尖B到适合位置.弦线上的波就形成驻波。这时,弦线上的波被分成几段形成波节和波腹。驻波形成如图(2)所示。
设图中的两列波是沿X轴相向方向传播的振幅相等、频率相同振动方向一致的简谐波。向右传播的用细实线表示,向左传播
的用细虚线表示,它们的合成驻波用粗实线表示。由图可见,两个波腹间的距离都是等于半个波长,这可从波动方程推导出来。
图(2)
下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。设沿X轴正方向传播的波为入射波,沿X轴负方向传播的波为反射波,取它们振动位相始终相同的点作坐标原点“O”,且在X=0处,振动质点向上达最大位移时开始计时,则它们的波动方程
分别为:
Y1=Acos2?(ft-x/?)Y2=Acos[2?(ft+x/λ)+?]
式中A为简谐波的振幅,f为频率,?为波长,X为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波,其方程为:
Y1+Y2=2Acos[2?(x/?)+?/2]Acos2?ft ①
由此可见,入射波与反射波合成后,弦上各点都在以同一频率作简谐振动,它们的振幅为|2Acos[2?(x/?)+?/2]|,与时间无关t,只与质点的位置x有关。
由于波节处振幅为零,即:|cos[2?(x/?)+?/2]|=02?(x/?)+?/2=(2k+1)?/2 (k=0.2.3.…)
可得波节的位置为:
而相邻两波节之间的距离为:
x=k?/2 ②
xk+1-xk=(k+1)?/2-k?/2=?/2 ③又因为波腹处的质点振幅为最大,即 |cos[2?(x/?)+?/2]| =1
2?(x/?)+?/2=k? (k=0.1.2.3.??)
可得波腹的位置为:
x=(2k-1)?/4 ④
这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此,在驻波实验中,只要测得相邻两波节或相邻两波腹间的距离,就能确定该波的波长。
在本实验中,由于固定弦的两端是由劈尖支撑的,故两端点称为波节,所以,只有当弦线的两个固定端之间的距离(弦长)等于半波长的整数倍时,才能形成驻波,这就是均匀弦振动产生驻波的条件,其数学表达式为:
L=n?/2 (n=1.2.3.…)
由此可得沿弦线传播的横波波长为:
?=2L/n ⑤
式中n为弦线上驻波的段数,即半波数。
根据波速、频率及波长的普遍关系式:V=?f,将⑤式代入可得弦线上横波的
传播速度:
V=2Lf/n ⑥
另一方面,根据波动理论,弦线上横波的传播速度为:
V=(T/ρ)1/2 ⑦
式中T为弦线中的张力,ρ为弦线单位长度的质量,即线密度。再由⑥⑦式可得
f=(T/ρ)1/2(n/2L)
得 T=ρ/(n/2Lf)2
即 ρ=T(n/2Lf)2 (n=1.2.3.…) ⑧
由⑧式可知,当给定T、ρ、L,频率f只有满足以上公式关系,且积储相应能量时才能在弦线上有驻波形成。
四、实验内容
1、测定弦线的线密度:用米尺测量弦线长度,用电子天平测量弦线质量,记录数据
2、测定11个砝码的质量,记录数据
3、组装仪器
4、调节电振音叉频率,弦线长度和砝码数量得到多段驻波,用米尺测量驻波长度,记录频率,砝码质量,波数,波长。(靠近振动端的第一个驻波不完整,要从第二个驻波开始测量波长)
五、数据记录及处理
1、弦线密度测定
弦线总长:2.00m 总质量:0.383g σ=0.383/2.00=0.1915 g/m
编号1234
编
号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
质
10.0
10.
9.9
10.0
10.0
10.0
10.
10.0
10.0
10.
4.9
量
15
016
88
20
09
00
013
06
18
018
97
/g
波数
波长L/cm
张力T/N
频率f/Hz
砝码m/g
9
17.30
0.049
45.04
4.997
8
17.38
0.049
48.17
4.997
7
16.13
0.049
49.26
4.997
6
20.31
0.098
43.70
10.015
5
23.16
0.098
16.51
10.015
4
30.60
0.
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