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第一章控制系统的状态空间表达式
1. 状态空间表达式
x??Ax?Bu
n阶 y?Cx?Du
u:r?1 y:m?1 A:n?n B:n?r C:m?nD:m?r
A称为系统矩阵,描述系统内部状态之间的联系;B为输入(或控制)矩阵,表示输入对每个状态变量的作用情况;C输出矩阵,表示输出与每个状态变量间的组成关系,
D直接传递矩阵,表示输入对输出的直接传递关系。2. 状态空间描述的特点
①考虑了“输入-状态-输出”这一过程,它揭示了问题的本质,即输入引起了状态的变化,而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数,n阶系统有n个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说,把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤:
a选择状态变量;
b列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组;
c将一阶微分方程组化为向量矩阵形式,即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法,特别适合于用计算机计算。3. 模拟结构图(积分器 加法器 比例器)
已知状态空间描述,绘制模拟结构图的步骤:积分器的数目应等于状态变量数,将他们画在适当的位置,每个积分器的输出表示相应的某个状态变量,然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器,最后用箭头将这些元件连接起来。
4.状态空间表达式的建立
①由系统框图建立状态空间表达式:
a将各个环节(放大、积分、惯性等)变成相应的模拟结构图;b每个积
分器的输出选作x
i
,输入则为x?
i
;c由模拟图写出状态方程和输出方程。
②由系统的机理出发建立状态空间表达式:如电路系统。通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL和KCL列微分方程,整理。
③由描述系统的输入输出动态方程式(微分方程)或传递函数,建立系统的状态空间表达式,即实现问题。实现是非唯一的。
方法:微分方程?系统函数?模拟结构图?状态空间表达式。
注意:a如果系统函数分子幂次等于分母幂次,首先化成真分式形式,然后再继续其他工作。
b模拟结构图的等效。如前馈点等效移到综合反馈点之前。
c对多输入多输出微分方程的实现,也可以先画出模拟结构图。
状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项式的系数也是系统的不变量。
特征矢量pi的求解:也就是求(?iI?A)x?0的非零解。
状态空间表达式变换为约旦标准型(A为任意矩阵):主要是要先求出变换矩阵。a互异根时,
各特征矢量按列排。b有重根时,设3阶系统, = , 为单根,对特征矢量p,p求法与前
1 2 3 1 3
面相同, p称作
2
的广义特征矢量,应满足(
1
I A)p p。
1 2 1
系统的并联实现:特征根互异;有重根。方法:系统函数 部分分式展开 模拟结构图 状态空间表达式。
由状态空间表达式求传递函数阵W(s)
W(s) C(sI A)1 B D m r的矩阵函数[W
]W 表示第j个输入对第i个输出的传递关系。
ij ij
状态空间表达式不唯一,但系统的传递函数阵W(s)是不变的。
子系统的并联、串联、反馈连接时,对应的状态空间表达及传递函数阵W(s)。方法:画出系统结构图,理清关系,用分块矩阵表示。
第二章控制系统状态空间表达式的解
一.线性定常系统齐次状态方程(x
二.矩阵指数函数——状态转移矩阵
Ax)的解:x(t) eAtx
0
(t) eAt表示x(0)到x(t)的转移。5个基本性质。
eAt的计算:
a定义;b变换为约旦标准型 (或J) T1AT,eAt TetT1或TeJtT1
c用拉氏反变换eAt L1[(sI A)1] 记忆常用的拉氏变换对
1 1 1 n! 1 s
(t) 1;1(t) ;t
;eat
;tn
;teat
;sint ;cost
s s2 s a sn1 (s a)2 s2 2 s2 2
d应用凯莱-哈密顿定理
三.线性定常系统非齐次方程(x
Ax Bu)的解:x(t) (t)x(0)
t(t )Bu()d。可由
0
拉氏变换法证明(当然给出拉氏变换法的求解思路)。求解步骤:先求(t) eAt,然后将B和u(t)代入公式即可。特殊激励下的解。
第三章 线性控制系统的能控性和能观性
一.能控性及能观性定义(线性连续定常)
二.
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