3.1.2 函数的平均变化率 第2课时 （教学课件）——-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册.pptx

第三章函数

3.1函数的概念与性质

3.1.2函数的单调性

第2课时函数的平均变化率

基础知识我们已经知道，两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，这一结论当然也成立，一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称?为直线AB的斜率；当x1=x2时，称直线AB的斜率不存在。

直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度。?如图所示，直线AB的斜率即为Rt△ACB中BC与AC的比，另外，图中，直线AB的斜率大于零，而直线AD的斜率小于零。y1y2x2x1??

不难看出，平面直角坐标系中的三个点共线，当且仅当其中任意两点确定的直线的斜率都相等或都不存在。下面我们用直线的斜率来研究函数的单调性。由函数的定义可知，任何一个函数图象上的两个点，它们所确定的直线的斜率一定存在。

基础知识尝试于发现如图所示，观察函数图象上任意两点连线的斜率的符号与函数单调性之间的关系，并总结出一般规律。

可以看出，函数递增的充要条件是其图象上任意两点连线的斜率都大于0，函数递减的充要条件是其图象上任意两点连线的斜率都小于0。

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利用上述结论，我们可以证明一个函数的单调性。例如，对于函数y=－2x来说，对任意x1，x2∈R且x1≠x2，有?因此y=－2x在R上是__________函数。减

典例精析???

典例精析判断一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性解：设x1≠x2，那么?因此，一次函数的单调性取决于k的符号：当k0时，一次函数在R上是增函数；当k0时，一次函数在R上是减函数。

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典例精析证明函数f(x)=x2+2x在(-∞，-1]上是减函数，在[-1，+∞)上是增函数，并求这个函数的最值。证明：设x1≠x2，则?因此:?

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用类似的方法可以证明，二次函数f(x)=ax2+bx＋c(a≠0)的单调性为:??增减小大?

基础自测1．如果过点P(－2，m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，那么m的值为()A．1 B．4C．1或3 D．1或4A

2．已知函数f(x)＝2x2－4的图像上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为()A．4 B．4xC．4.2 D．4.02C

3．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是______，____.－12

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典例剖析函数的平均变化率与单调性、最值

对点训练

典例剖析利用函数的图像求最值(1)已知函数f(x)在区间[－2，5]上的图像如图所示，则此函数的最小值点，最大值分别为()A．－3,5B．－3，f(5)C．－2,5D．－2，f(5)D

思路探究：分段函数求最值，先作出各段内函数图像，然后由图像求出函数的最值。

解析：(1)由函数f(x)的图像可知最小值点为－2，最大值为f(5)．(2)①由题意，当x∈[－1,2]时，f(x)＝－x2＋3，为二次函数的一部分；当x∈(2,5]时，f(x)＝x－3，为一次函数的一部分；所以，函数f(x)的图像如图所示：②由图像可知，最大值点为0，最大值3；最小值点为2，最小值为－1.

归纳提升：图像法求最值、最值点的步骤

对点训练D

典例剖析常见的函数最值问题1．不含参数的最值问题

归纳提升：研究函数最值时，先求定义域，再判断其单调性，最后根据单调性求其最值。

2．含参数的最值问题已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，1]，求函数f(x)的最小值。思路探究：抛物线开口方向确定，对称轴不确定，需根据对称轴的不同情况分类讨论．可画出二次函数相关部分的简图，用数形结合法解决问题。

解析：函数f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2图像的开口向上，且对称轴为直线x＝a.当a≥1时，函数图像如图(1)所示，函数f(x)在区间[－1,1]上是减函数，最小值为f(1)＝3－2a；当－1＜a＜1时，函数图像如图(2)所示，函数f(x)在区间[－1,1]上是先减后增，最小值为f(a)＝2－a2；

归纳提升：求二次函数最值的常见类型及解法求二次函数的最大(小)值有两种类型：一是函数定义域为实数集R，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大(小)值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置(在区间上，在区间左侧，在区间右侧)来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，还需要进行分类讨论。

对点训练

典例剖析误用均值不等式致错

复合函数单调性的判断方法一般地，如果