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概率论与数理统计参数假设检验

汇报人：AA

2024-01-19

CATALOGUE

目录

概率论基础

数理统计基本概念

参数假设检验原理

单个正态总体参数假设检验

两个正态总体参数比较假设检验

非参数假设检验方法

实际应用案例分析

01

概率论基础

样本空间是随机试验所有可能结果的集合，事件是样本空间的子集，表示某些特定结果的出现。

样本空间与事件

概率是描述事件发生的可能性大小的数值，具有非负性、规范性和可列可加性。

概率的定义与性质

条件概率是在已知某事件发生的条件下，另一事件发生的概率。两事件独立意味着一个事件的发生不影响另一个事件的发生概率。

条件概率与独立性

随机变量的概念

随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将随机试验的结果映射为实数。

离散型随机变量及其分布

离散型随机变量取值为有限个或可列个，常见的离散型随机变量分布有二项分布、泊松分布等。

连续型随机变量及其分布

连续型随机变量取值充满某个区间，常见的连续型随机变量分布有正态分布、均匀分布等。

03

02

01

数学期望描述随机变量取值的平均水平，方差描述随机变量取值的离散程度。

协方差与相关系数

协方差描述两个随机变量的线性相关程度，相关系数是协方差的标准化形式，取值在[-1,1]之间。

大数定律与中心极限定理

大数定律表明当试验次数足够多时，频率近似于概率；中心极限定理表明当独立同分布的随机变量个数足够多时，其和的分布近似于正态分布。

数学期望与方差

02

数理统计基本概念

总体

研究对象的全体个体组成的集合，通常用一个分布函数来描述。

样本

从总体中随机抽取的一部分个体组成的集合，用于推断总体的性质。

样本的函数，用于描述样本的特征，如样本均值、样本方差等。

统计量

统计量的概率分布，描述了统计量在多次抽样中的分布情况。

抽样分布

VS

用一个具体的数值来估计总体参数的方法，如样本均值作为总体均值的点估计。

区间估计

用一个区间来估计总体参数的方法，该区间包含了参数真值的可信程度，如置信区间。

点估计

03

参数假设检验原理

假设的设立

根据研究问题设立原假设$H_0$和备择假设$H_1$，原假设通常是希望被拒绝的假设。

检验统计量

选择合适的检验统计量，用于衡量样本数据与原假设之间的差异。

拒绝域与接受域

根据显著性水平$alpha$确定拒绝域和接受域，若检验统计量落入拒绝域，则拒绝原假设。

显著性水平$alpha$

表示在原假设为真时，错误地拒绝原假设的概率，通常取值为0.01、0.05或0.1。

拒绝域

根据显著性水平$alpha$和检验统计量的分布确定，当检验统计量落入拒绝域时，我们拒绝原假设。

第二类错误

原假设为假时错误地接受原假设的概率，用$beta$表示。

功效函数

描述在原假设和备择假设下，拒绝原假设的概率与参数真值之间的关系。功效函数值越大，检验的效力越高。

第一类错误

原假设为真时错误地拒绝原假设的概率，即显著性水平$alpha$。

04

单个正态总体参数假设检验

检验统计量

在给定样本量和显著性水平下，计算检验统计量（如z值或t值）。

决策规则

比较检验统计量与临界值，若检验统计量落在拒绝域内，则拒绝零假设。

拒绝域与临界值

根据检验统计量的分布和显著性水平，确定拒绝域和临界值。

零假设与备择假设

零假设通常是总体均值等于某个特定值，备择假设则是总体均值不等于、大于或小于该特定值。

零假设与备择假设

零假设通常是总体方差等于某个特定值，备择假设则是总体方差不等于该特定值。

检验统计量

使用卡方分布作为检验统计量的基础，计算卡方值。

拒绝域与临界值

根据卡方分布和显著性水平，确定拒绝域和临界值。

决策规则

比较卡方值与临界值，若卡方值落在拒绝域内，则拒绝零假设。

单侧检验

只关注参数的一侧（如只关注均值是否大于或小于某个值），适用于有明确方向性的研究问题。

双侧检验

关注参数的两侧（如关注均值是否不等于某个值），适用于没有明确方向性的研究问题。

检验统计量与决策规则

单侧检验和双侧检验的检验统计量和决策规则类似，但拒绝域和临界值的确定有所不同。

05

两个正态总体参数比较假设检验

基于两个独立正态总体的样本均值和样本方差，构造t统计量进行假设检验。

检验原理

提出原假设和备择假设，确定显著性水平，计算t统计量并查表得到p值，根据p值做出决策。

检验步骤

需要保证两个样本相互独立，且服从正态分布。

注意事项

01

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检验原理

检验步骤

注意事项

对于两个配对的正态总体，通过计算每对数据的差值，得到差值的样本均值和样本方差，进而构造t统计量进行假设检验。

提出原假设和备择假设，确定显著性水平，计算t统计量并查表得到p值，根据p值做出决策。

需要保证配对数据之间的独立性，且差值服从正态分布。

需要保证两个样本相互独立，且服