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概率论与数理统计1.4汇报人：AA2024-01-19

概率论基本概念随机变量及其分布多维随机变量及其分布随机变量数字特征大数定律与中心极限定理数理统计基本概念和方法contents目录

01概率论基本概念

所有可能结果的集合，一般用大写字母S表示。样本空间空集，不包含任何样本点的事件。不可能事件样本空间的子集，即某些可能结果的集合。事件一般用大写字母A、B、C等表示。事件只包含一个样本点的事件。基本事件包含样本空间中所有样本点的事件，即样本空间本身。必然事件0201030405样本空间与事件

非负性对于任何事件A，有P(A)≥0。概率定义在给定条件下，某一事件发生的可能性大小。一般用P(A)表示事件A发生的概率，且0≤P(A)≤1。规范性对于必然事件S，有P(S)=1。乘法公式对于任意两个事件A和B，有P(AB)=P(A)P(B|A)。可加性对于互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。概率定义及性质

条件概率在给定某一事件B发生的条件下，另一事件A发生的概率。记作P(A|B)，且有P(A|B)=P(AB)/P(B)。事件的独立性如果事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响，则称事件A与事件B相互独立。即P(AB)=P(A)P(B)。条件概率与独立性

全概率公式与贝叶斯公式全概率公式如果事件B1,B2,...,Bn是样本空间S的一个划分，且P(Bi)0(i=1,2,...,n)，则对于任意事件A，有P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)。贝叶斯公式在全概率公式的条件下，有P(Bi|A)=P(Bi)P(A|Bi)/∑P(Bj)P(A|Bj)，其中j取遍所有可能的情况。贝叶斯公式用于在已知某些条件下，求另一条件发生的概率。

02随机变量及其分布

VS随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。随机变量分类根据随机变量取值的特点，可以将其分为离散型随机变量和连续型随机变量两类。随机变量定义随机变量定义及分类

离散型随机变量的分布律描述了随机变量取各个可能值的概率。分布律定义二项分布、泊松分布、几何分布等。常见离散型随机变量分布离散型随机变量分布律

概率密度函数定义连续型随机变量的概率密度函数是一个非负可积函数，它描述了随机变量在某个区间内取值的概率。常见连续型随机变量分布正态分布、均匀分布、指数分布等。连续型随机变量概率密度函数

随机变量函数是由一个或多个随机变量通过某种函数关系构成的新的随机变量。当已知原随机变量的分布时，可以通过一定的方法求出随机变量函数的分布。常见的方法有公式法、分布函数法、卷积公式等。随机变量函数的定义随机变量函数的分布随机变量函数分布

03多维随机变量及其分布

二维随机变量联合分布律/密度函数对于离散型二维随机变量，联合分布律描述了每一个可能取值的概率，常用二维表格表示。联合分布律对于连续型二维随机变量，联合密度函数描述了随机变量取值的概率密度，是一个二元函数。联合密度函数

离散型二维随机变量的边缘分布律是指其中一个随机变量取某个值时，另一个随机变量取所有可能值的概率之和。边缘分布律连续型二维随机变量的边缘密度函数是指对联合密度函数关于其中一个变量进行积分得到的函数。边缘密度函数边缘分布律/密度函数

条件分布律在离散情况下，条件分布律描述了在已知一个随机变量取值的条件下，另一个随机变量的取值概率。条件密度函数在连续情况下，条件密度函数描述了在已知一个随机变量取值的条件下，另一个随机变量的概率密度。条件分布律/密度函数

定义如果两个随机变量的联合分布律（或联合密度函数）等于各自边缘分布律（或边缘密度函数）的乘积，则称这两个随机变量是相互独立的。要点一要点二性质相互独立的随机变量意味着一个随机变量的取值不会影响另一个随机变量的取值概率。相互独立随机变量

04随机变量数字特征

数学期望定义数学期望是随机变量取值的平均值，用于描述随机变量取值的“中心位置”或“平均水平”。数学期望性质数学期望具有线性性质，即对于任意常数a和b，以及随机变量X和Y，有E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)；同时数学期望也具有可加性，即对于相互独立的随机变量X和Y，有E(X+Y)=E(X)+E(Y)。数学期望定义及性质

方差定义方差是随机变量取值与其数学期望之差的平方的平均值，用于描述随机变量取值的离散程度或波动范围。方差性质方差具有非负性，即对于任意随机变量X，有D(X)≥0；同时方差也具有可加性，即对于相互独立的随机变量X和Y，有D(X+Y)=D(X)+D(Y)。方差定义及性质

协方差定义协方差是用于描述两个随机变量变化趋势的统计量，其值等于两个随机变量与其各自数学期望之差的乘积的平均值。相关系数定义相关系数是用于描述两个随机变量之间线性相关程度的统计量，其值等于两个随机变量的协