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概率论与数理统计4.2节

汇报人：AA

2024-01-19

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目录

随机事件及其概率

条件概率与独立性

随机变量及其分布

多维随机变量及其分布

随机变量的数字特征

01

随机事件及其概率

在一定条件下进行的、结果不确定的试验。例如抛硬币、掷骰子等。

随机试验

样本空间

样本点

随机试验所有可能结果的集合。例如抛硬币的样本空间为{正面,反面}。

样本空间中的每一个元素，即每个可能的结果。

03

02

01

用来量化随机事件发生可能性的数值，取值范围在0到1之间。

概率

非负性、规范性（必然事件的概率为1）、可加性（互斥事件的概率和）。

概率的性质

每个样本点发生的可能性相等，适用于有限样本空间的情况。例如掷一枚均匀骰子，每个点数出现的概率相等。

适用于无限样本空间的情况，通过度量（如长度、面积、体积等）来定义概率。例如射箭命中靶心的概率与箭落在靶心区域的面积成正比。

几何概型

古典概型

02

条件概率与独立性

在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。

定义

P(A|B)=P(AB)/P(B)，其中P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

计算公式

条件概率具有概率的所有性质，如非负性、规范性、可加性等。

性质

乘法公式是计算多个事件同时发生概率的一种方法。

定义

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)，其中P(ABC)表示事件A、B和C同时发生的概率。

计算公式

对于任意n个事件A1，A2，...，An，有P(A1A2...An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1)。

推广

判定方法

如果P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。

定义

如果事件A的发生与否对事件B的发生概率没有影响，则称事件A与事件B相互独立。

性质

相互独立的事件组中的任意多个事件也相互独立。

1

2

3

如果每次试验的结果不影响其他各次试验的结果，则称这些试验是相互独立的。

定义

在每次试验中，事件A发生的概率均为p，不发生的概率均为q，且各次试验相互独立，则称这种试验为n重伯努利试验。

伯努利概型

在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率服从二项分布，记作b(k;n,p)。

二项分布

03

随机变量及其分布

定义

随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。

分类

随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量两类。离散型随机变量的取值是有限个或可列个，而连续型随机变量的取值则是充满一个区间。

分布律

离散型随机变量的分布律可用概率分布表或概率分布图来表示，它描述了随机变量取各个值的概率。

常见离散型随机变量分布

二项分布、泊松分布、几何分布等。

概率密度函数

连续型随机变量的概率密度函数是一个非负可积函数，它描述了随机变量在各个取值点的概率分布情况。

常见连续型随机变量分布

正态分布、均匀分布、指数分布等。

当随机变量为离散型时，其函数的分布可通过概率分布表或概率分布图求得。

离散型随机变量函数的分布

当随机变量为连续型时，其函数的分布可通过概率密度函数求得，需要注意的是，在求解过程中可能涉及到变量的变换和积分的计算。

连续型随机变量函数的分布

04

多维随机变量及其分布

定义

设$X$和$Y$是两个随机变量，定义在同一概率空间$(Omega,mathcal{F},P)$上，称$(X,Y)$为二维随机变量。

设二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数为$F(x,y)$，边缘分布函数分别为$F_X(x)$和$F_Y(y)$。若对于固定的$y$，$F_Y(y)0$，则称$frac{F(x,y)}{F_Y(y)}$为在$Y=y$条件下$X$的条件分布函数，记作$F_{X|Y}(x|y)$。

条件分布函数

若$(X,Y)$是离散型随机变量，且对于固定的$y_j$，有$P{Y=y_j}0$，则称$frac{p_{ij}}{P{Y=y_j}}$为在$Y=y_j$条件下随机变量$X$的条件分布律。

条件分布律

VS

设二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数为$F(x,y)$，边缘分布函数分别为$F_X(x)$和$F_Y(y)$。若对于任意实数$x,y$，都有$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，则称随机变量$X$和$Y$是相互独立的。

性质

若$(X,Y)$是离散型随机变量且相互独立，则对于任意实数$x_i,y_j$，都有$P{X=x_i,Y=y_j}=P{X=x_i}P{Y=y_j}$。

定义

05

随机变量的数字特征

定义

01

数学期望是随机变量取值的平均值，反映了随机变