概率论与数理统计2.8随机变量的独立性.pptxVIP

概率论与数理统计2.8随机变量的独立性汇报人：AA2024-01-19

目录CONTENTS随机变量及其分布多维随机变量及其分布随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理数理统计的基本概念参数估计假设检验

01随机变量及其分布

随机变量的定义与性质定义随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。性质随机变量具有可测性，即对于任意实数x，随机变量的取值小于等于x的事件是一个可测事件。

离散型随机变量是指其取值是有限个或可列个的随机变量。定义离散型随机变量的分布律可以用概率质量函数来描述，即随机变量取各个值的概率。分布律离散型随机变量及其分布律

定义连续型随机变量是指其取值是连续不断的随机变量，其取值充满某个区间。概率密度连续型随机变量的概率密度函数是一个非负可积函数，它描述了随机变量在各个取值的概率分布情况。连续型随机变量及其概率密度

VS随机变量的函数是指通过某种规则或运算将随机变量转换成另一个随机变量的过程。分布随机变量的函数的分布可以通过原随机变量的分布以及转换规则来求得，常见的转换规则包括线性变换、指数变换等。定义随机变量的函数的分布

02多维随机变量及其分布

二维随机变量设$X$和$Y$是两个随机变量，则称$(X,Y)$为二维随机变量。联合分布函数对于任意实数$x$和$y$，二元函数$F(x,y)=P{Xleqx,Yleqy}$称为二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数。联合概率密度函数如果存在非负函数$f(x,y)$，使得对于任意实数$x$和$y$，有$F(x,y)=int_{-infty}^{x}int_{-infty}^{y}f(u,v)dudv$，则称$f(x,y)$为二维随机变量$(X,Y)$的联合概率密度函数。010203二维随机变量及其联合分布

边缘分布函数条件分布函数边缘分布与条件分布设二维随机变量$(X,Y)$的分布函数为$F(x,y)$，关于$Y$的边缘分布函数为$F_Y(y)$。若对于固定的$y$，$F_Y(y)0$，则称$frac{F(x,y)}{F_Y(y)}$为在$Y=y$条件下$X$的条件分布函数，简称条件分布。二维随机变量$(X,Y)$关于$X$和关于$Y$的分布函数分别称为$(X,Y)$关于$X$和关于$Y$的边缘分布函数，简称边缘分布。

设二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数为$F(x,y)$，边缘分布函数分别为$F_X(x)$和$F_Y(y)$。如果对所有的$x,yinR$，都有$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，则称随机变量$X$和$Y$是相互独立的。如果两个随机变量相互独立，则一个随机变量的取值不会影响另一个随机变量的取值。相互独立的定义相互独立的性质相互独立的随机变量

$Z=X+Y$的分布设$(X,Y)$是二维连续型随机变量，其联合概率密度为$f(x,y)$，则$Z=X+Y$仍为连续型随机变量，其概率密度为$int_{-infty}^{infty}f(z-y,y)dy$或$int_{-infty}^{infty}f(x,z-x)dx$。要点一要点二$Z=frac{X}{Y}$的分布（$Yneq0$）设$(X,Y)$是二维连续型随机变量，其联合概率密度为$f(x,y)$，且$Yneq0$，则$Z=frac{X}{Y}$仍为连续型随机变量，其概率密度为$int_{-infty}^{infty}|y|f(zy,y)dy$。两个随机变量的函数的分布

03随机变量的数字特征

数学期望描述随机变量取值的“平均水平”，是随机变量所有可能取值的加权平均数，权数为每个取值的概率。方差衡量随机变量取值与其数学期望的偏离程度，即随机变量取值的波动性或分散程度。数学期望与方差

协方差与相关系数衡量两个随机变量的总体误差，反映两个随机变量变化趋势的相似程度。如果两个随机变量同时向相反方向变化（即一个增加，另一个减少），则协方差为负值；如果两个随机变量同时向相同方向变化（即两者都增加或都减少），则协方差为正值；如果两个随机变量变化趋势相互独立，则协方差为零。协方差是协方差的标准化形式，消除了量纲的影响，更直观地反映两个随机变量之间的线性相关程度。相关系数的取值范围为[-1,1]，其中1表示完全正相关，-1表示完全负相关，0表示不相关。相关系数

矩描述随机变量分布形态的特征数，包括原点矩和中心矩。原点矩反映随机变量取值的平均水平，中心矩反映随机变量取值的波动性或分散程度。协方差矩阵由多个随机变量的协方差组成的矩阵，用于描述多个随机变量之间的线性相关关系。协方差矩阵的对角线元素为各个随机变量的方差，非对角线元素为不同随机变量之间的协方差。通过协方差矩阵可以方便地计算多个随机变量的相关系数矩阵，从而更全面地了解多个随机变量之间的相关关系。矩与协方差矩阵