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汇报人：AA

2024-01-19

概率论与数理统计1.5

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Contents

目录

课程简介与学习目标

概率论基本概念

一维随机变量及其分布

多维随机变量及其分布

数理统计基本概念与方法

参数估计方法及应用举例

假设检验原理及应用举例

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课程简介与学习目标

数理统计是应用概率论对数据进行收集、整理、分析和推断的数学分支，主要研究如何从数据中获取有用信息以及如何利用这些信息进行决策。

概率论与数理统计在自然科学、社会科学、工程技术以及经济金融等领域都有广泛的应用。

概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，其基本概念包括随机事件、概率、随机变量等。

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概率论基本概念

在一定条件下并不总是发生，且可以明确其是否发生的事件。

随机事件

描述随机事件发生的可能性大小的数值，取值范围在0到1之间。

概率

非负性、规范性（必然事件的概率为1）、可加性（互斥事件的概率和）。

概率的性质

条件概率

01

在已知另一事件发生的情况下，某一事件发生的概率。表示为P(A|B)，读作“在B发生的条件下A发生的概率”。

事件的独立性

02

如果两个事件互相独立，则一个事件的发生不会影响另一个事件的发生概率。即P(A|B)=P(A)且P(B|A)=P(B)。

乘法公式

03

对于任意两个事件A和B，有P(AB)=P(A)P(B|A)。当A和B独立时，简化为P(AB)=P(A)P(B)。

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一维随机变量及其分布

随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。

随机变量的定义

随机变量具有可测性、单调性和有界性等基本性质。

随机变量的性质

1

2

3

0-1分布是二项分布的特例，它描述的是只有两种可能结果的随机试验。

0-1分布

二项分布描述的是n重伯努利试验中成功次数X的分布，其中每次试验成功的概率为p。

二项分布

泊松分布描述的是单位时间内随机事件发生的次数，它是一种常见的离散型概率分布。

泊松分布

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正态分布

正态分布是连续型随机变量中最为常见的一种分布，它具有对称性和集中性等特点。

01

均匀分布

均匀分布描述的是在某个区间内等可能取值的连续型随机变量。

02

指数分布

指数分布描述的是连续型随机变量在两个相邻事件发生的时间间隔内的概率分布情况。

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多维随机变量及其分布

联合分布函数

设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数$F(x,y)=P{(Xleqx)cap(Yleqy)}$称为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数。

联合概率密度

若二维随机变量(X,Y)的联合分布函数$F(x,y)$可表示为$F(x,y)=int_{-infty}^{x}int_{-infty}^{y}f(u,v)dudv$，则称(X,Y)为连续型随机变量，函数$f(x,y)$称为二维随机变量(X,Y)的联合概率密度。

VS

若二维随机变量(X,Y)的联合分布函数可表示为两个边缘分布函数的乘积，即$F(x,y)=FX(x)FY(y)$，则称随机变量X和Y是相互独立的。

相关性

若二维随机变量(X,Y)的协方差$Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}$存在且不为零，则称随机变量X和Y是相关的。当$Cov(X,Y)0$时，称X和Y正相关；当$Cov(X,Y)0$时，称X和Y负相关。

独立性

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数理统计基本概念与方法

总体

研究对象的全体个体组成的集合，通常用一个随机变量及其分布来描述。

样本

从总体中随机抽取的一部分个体组成的集合，用于推断总体的性质。

样本容量

样本中包含的个体数目，用n表示。

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02

01

一致性

指当样本容量趋于无穷大时，统计量的值趋于总体参数的真值。

有效性

指对于同一总体参数的两个无偏估计量，方差较小的估计量更有效。

无偏性

指统计量的期望值等于总体参数的真值。

统计量

由样本数据计算得到的用于描述样本特征的量，如样本均值、样本方差等。

统计量的性质

包括无偏性、有效性和一致性等，用于评价统计量的优劣。

A

B

C

D

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参数估计方法及应用举例

矩估计法

利用样本矩来估计总体矩，适用于总体分布形式已知但参数未知的情况。

要点一

要点二

最大似然估计法

根据样本观测值出现的概率最大原则来估计总体参数，适用于总体分布形式已知且样本量较大的情况。

无偏性

估计量的数学期望等于被估计参数的真实值，即估计量在多次重复抽样下的平均值应接近真实值。

有效性

对于同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。

一致性

随着样本量的增加，估计量的值应逐渐接近被估计参数的真实值。

03

当总体方差未知时，可以使用t统计量进行均值的置信区间估计。

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正态总体均值估计

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当